广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学文试题含答案(2)

212.【解析】 ∵{an}是等比数列且2?8?2?5? ∴a2?a8?a5?16.

13.【解析】由框图知：S?2,k?1;S??1,k?2;S?1,k?3; 2S?2,k?4;S??1,k?5,不满足条件，输出S的值是?1.

14.【解析】直线的直角坐标方程为x?y?6?0，曲线C的方程为x?y?1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax?220?0?6215.【解析】连接CO，AB?2r?6,?r?3，Rt?COP中，?CPO?30?，故

OP?2CO?2r?6，所以BP?6?OB?3，由切割线定理CP2?BP?AP?27， ?CP?33

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本题满分12分） 解：（1）由正弦定理得sinCsinA?sinAcosC.……2分

因为0?A??,所以sinA?0.从而sinC?cosC.……4分

?1?32?1

又cosC?0,所以tanC?1,则C??4……6分

（2）由（1）知A?B?C??,C??4?B??4???A.……7分

?3sinA?cos(B??4)?3sinA?cos(??A).?3sinA?cosA?2sin(A?)……9分

6?0?A?从而当A??3???11?,??A??,………………………………10分 46612?????,即A?时，2sin(A?)取最大值2.……………12分 6236

17. （本小题满分12分）

解：（1）由表可知，样本容量为n，由

225?0.04，得n?50，由x??0.5；…3分 nny?50?3?6?25?2?14， z?y14??0.28 ……6分 n50（2）设样本视力在（3.9，4.2]的3人为a,b,c，在（5.1，5.4]的2人为d,e．7分

6

由题意从5人中任取两人的基本事件如下：(a,d),(a,e),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),

(a,b),(a,c),(b,c),(d,e)，共有10个基本事件………9分

设事件Ａ表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A等价于“抽取两人来自同一组”包含的基本事件有：

(a,b),(a,c),(b,c),(d,e)，共有4个基本事件 ……11分 42?，∴P(A)? 故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.51052的概率为． ……12分

518．（本小题满分14分）

（1）证：取BD的中点P,连接EP、FP，………… 1分

A B D E

C P F 1则PF为中位线，PF//DC

2又?EA//1DC ?EA//PF…………3分 2故四边形AFPE是平行四边形,即AF//EP…5分 ?EP?面BDE；AF?面BDE ?AF//面BDE………7分

（2）解：?BA?AC，面ABC?面ACDE且交于AC

?BA?面ACDE，即BA就是四面体B?CDE的高，BA?2………10分

?DC?AC?2AE?2，AE//CD

11?S梯形ACDE?（1?2）?2?3，S?ACE??1?2?1

22?S?CDE?3?1?2 ……………………………………………………12分

114?VB-CDE??BA?S?CDE??2?2?.……………………………14分

33319.(本小题满分14分) 解：（1）直线是函数f?x??lnx在点?1,0?处的切线，故其斜率

k?f'?1??1，

∴直线的方程为y?x?1. …………………2分 又因为直线与g?x?的图象相切，且切于点?1,0?，

7

∴g?x??1312x?x?mx?n在点?1,0?的导函数值为1. 32?m??1??g?1??0???1，…………………4分 ?n??g'?1??1??6?∴g?x??13121x?x?x? ……………6分 3262（2）?h?x??f?x??g'?x??lnx?x?x?1?x?0? …………………7分

?2x?1?(x?1)11?2x2?x∴h'?x???2x?1? …………………9分 ??xxx令h'?x??0，得x?1或x??1（舍）…………………10分 2当0?x?1时，h'?x??0，h?x?递增； 2当x?1时，h'?x??0，h?x?递减 …………12分 2因此，当x?111?1?时，h?x?取得极大值，??h(x)?极大?h???ln?……14分 224?2?20．（本小题满分14分）

x2y2解 (1)设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)， 则b?1. ………………1分

ab令右焦点F(c,0)(c?0)， 则由条件得3?|c?0?22|2，得c?2.…………3分

x2?y2?1.………5分 那么a?b?c?3,∴椭圆方程为3222(2)若直线斜率不存在时，直线即为y轴，此时M,N为椭圆的上下顶点，

BN?0,BM?2，不满足条件；………6分

3x2?y2?1联立， 故可设直线:y?kx?(k?0),与椭圆

23 8

消去y得： 1?3k?2?x2?9kx?15?0.………7分 4由???9k??41?3k2?2??515?0，得k2?. ………………8分

124由韦达定理得x1?x2??9k

1?3k29k2?3 ………………10分 而y1?y2?k(x1?x2)?3??1?3k2 设M(x1,y1),N(x2,y2)的中点P(x0,y0)，则x0?由BN?BM，则有BP?MN.

x1?x2y?y2 ,y0?122kBPy1?y29k2?5?1?2y0?112???1?3k??………………11分

x1?x29kx0k?1?3k222 可求得k?2. ………………12分 3检验k?225?(,??) ………………13分 3126363x?或y??x?.………14分 3232所以直线方程为y?21．（本小题满分14分）

n?a?a?2nn?1（1）证明：?an,an?1是方程x2?2nx?bn?0(n?N?)两根，??…1分

b?aann?1?n111an?1??2n?12n?an??2n?1?(an??2n)333?????1……3分 1n1n1nan??2an??2an??2333故数列?an???211n??2?是等比数列，首项a1??,公比为-1的等比数列……4分

333?1n11nn??2??(?1)n?1，即an??2?(?1)……5分 ??3339

（2）由（1）得an?

Sn?a1?a2?a3???an

?11123n?(2?22?23??2n)??(?1)?(?1)?(?1)???(?1)……6分 ??3??1?2(1?2n)?1[1?(?1)n]?1?n?1(?1)n?1??=?? =?2?2??……7分

3?1?21?(?1)?3?2?（3）bn?anan?1?1n12n?1nn?1n?1n?????2?(?1)?2?(?1)?2?(?2)?1?……8分 ??????99?要使bn??Sn?0对任意n?N都成立，

12n?1??n?1(?1)n?1??n?2?(?2)?1?2?2??0n?N即? (*)对任意都成立 ??3?9?2??①当n为正奇数时，由(*)得

12n?1?(2?2n?1)?(2n?1?1)?0 93即

1n?1?(2?1)(2n?1)?(2n?1?1)?0 93?2n?1?1?0,

1???(2n?1)对任意正奇数n都成立。

3当且仅当n?1时，(2?1)有最小值1，???1 ……11分

13n②当n为正偶数时，由(*)得

12n?1?(2?2n?1)?(2n?1?2)?0 93即

12n?12?n(2?1)(2n?1)?(2?1)?0 931n?1(2?1)对任意正偶数n都成立。 6?2n?1?1?0, ???当且仅当n?2时，

1n?133(2?1)有最小值，??? ……13分 622?综上所述，存在常数?，使得使得bn??Sn?0对任意n?N都成立，

10

?的取值范围是(??,1) ……14分

11

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