广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学文试题含答案

惠州市2013届高三第一次模拟考试

数学试题（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1．设集合A???1,0,1?,B??0,1,2?若x?A且x?B则x等于( )

A．?1 B． 0

C． D．2

2．已知复数z?i(1?i) (为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设抛物线的顶点在原点,准线方程为x??2,则抛物线的方程是( )

A．y??8x B．y?8x C．y??4x D．y?4x

4．在数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,…中,第25项为 ( ) A．2 B．6 C．7 D．8

22222 正视图

2 侧视图

2 1 1 俯视图

cm）5．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸 （单位：，

可得这个几何体的体积是（ ） A．

2 第5题图

438cm B．cm3 C．2cm3 D．4cm3 336．甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：

甲 乙 丙 丁

平均成绩x 方差S

286 2.1

89 3.5

89 2.1

85 5.6

从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是（ ） A． 甲 B．乙 C．丙 D．丁

?????7．已知向量a?(?1,1),b?(3,m)，a//(a?b)，则m? ( )

A．2 B．?2 C．?3 D．

?2x?y?2?0?8．设变量x，y满足约束条件?x?2y?4?0，则目标函数z?3x?2y的最小值为（ ）

?x?1?0?A．?6 B．?4 C．2 D．

9．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产

1

2成本为C(x)?1x?2x?20(万元),一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个

2月应生产该商品数量为( )

A．36万件 B．18万件 C．22万件 D．9万件

10．设P为曲线C：y?x?2x?3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为?0,范围为 ( )

A．??1,?? B．??1,0? C．?0,1?

22开始 ???，则点P横坐标的取值??4?S?2,k?1 k?5? 否 ??1??D． ?,1? ?2??1?二、填空题：本题共5小题，作答4小题，每题5分，满分20分.

（一）必做题（11～13题）

11．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校

共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中应抽学生 人． 12．若等比数列{an}中a5?4?则a2?a8等于 ． 13. 执行如右图的程序框图，那么输出S的值是 ．

是 1S?1?S 输出S 结束 k?k?1第13题图 （二）选做题（14 ～15题，考生只能从中选做一题；两道题都做的，只记第一题的分） 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为?cos(???4)?32，曲线C：

??1上的点到直线的距离为d，则d的最大值为 ．

15.(几何证明选讲选做题) 如图,圆O的直径AB?6,P是

C AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，

连接AC，若?CPA?30,则PC? ．

0A

O

· B P 第15题图

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

2

16．（本小题满分12分）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足

csinA?acosC （1）求角C的大小；

（2）求3sinA?cos(B?

17. （本小题满分12分）为了了解2013年某校高三学生的视 力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为?3.9,4.2?，?4.2,4.5?，… ，

分组 （3.9，4.2] （4.2，4.5] （4.5，4.8] （4.8，5.1] （5.1，5.4] 合计 频数 3 6 25 y 2 n 频率 0.06 0.12 x z 0.04 1.00 ?4)的最大值，并求取得最大值时角A的大小．

?5.1,5.4?经过数据处理，得到如右频率分布表：

（1）求频率分布表中未知量n,x,y,z的值； （2）从样本中视力在?3.9,4.2?和?5.1,5.4?的所有

同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率．

18．（本小题满分14分）如图，直角梯形ACDE与等腰直角

D ?ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，

?BAC??ACD?90?,AE//CD,DC?AC?2AE?2

（1）求证：AF//平面BDE； （2）求四面体B?CDE的体积．

19.(本小题满分14分) 已知f?x??lnx,g?x??E

C F A 第18题图

B

1312x?x?mx?n，直线与函数32f?x?,g?x?的图象都相切于点?1,0?．

（1）求直线的方程及g(x)的解析式；

（2）若h?x??f?x??g'?x?（其中g'?x?是g?x?的导函数），求函数h?x?的极大值.

3

20．（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0,?1)，且其右焦点到直线x?y?22?0的距离为3. （1）求椭圆方程；

（2）设直线过定点Q(0,)，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足BM?BN． 求直线的方程.

21．（本小题满分14分）已知数列?an?的相邻两项an,an?1是关于x的方程

32x2?2nx?bn?0(n?N?)的两根，且a1?1．

（1）求证: 数列?an???1n??2?是等比数列； 3?

；

?（2）设Sn是数列?an?的前n项和，求Sn（3）问是否存在常数?，使得bn??Sn?0对任意n?N都成立，若存在，求出?的取值范围; 若不存在，请说明理由．

惠州市2013届高三第一次模拟考试试题

数 学（文科）答案

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 题号 答案

1 A 2 B 3 B 4 C 5 B 4

6 C 7 C 8 B 9 B 10 A

1．【解析】A?B??0,1?，故x?-1，故选A。

2.【解析】因为z?i(1?i)??1?i,所以z?i(1?i)??1?i对应的点在复平面的第二象限. 故选B．

3.【解析】抛物线的准线方程为x?-2,,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为

y2?2px(p?0)?则其准线方程为x??程为y?8x.故选B。

2pp? ∴???2?解得p?4? ∴抛物线的标准方224．【解析】数字共有n个,当数字n?6时,有1?2?3?4?5?6?21项,所以第25项是7，

故选C。

5.【解析】由三视图可知，该几何体为底面是正方形边长为2cm，高为2cm的四棱锥，故

18V??22?2?cm3，故选B。

336.【解析】乙，丙的平均成绩最好，且丙的方差小于乙的方差，丙的发挥较稳定，故选C。

?????7.【解析】a?b?(2,m?1)，a//(a?b)故?(m?1)?2?0，解得m??3，故选C

8.【解析】做出不等式对应的可行域如图，由z?3x?2y得

y?3z3zx?，由图象可知当直线y?x?经过点C(0,2)时，2222直线的截距最大，而此时z?3x?2y最小?4为，选B。 9.【解析】 利润L(x)?20x?C(x)??1(x?18)?142?当x?1822时,有最大值.故选B

10.【解析】设P(x0,y0)，倾斜角为?，y??2x?2，则k?tan??2x0?2??0,1?,解得

1??x0???1,??，故选A。

2??二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.） 11. 200 12. 16 13. -1 14. 32?1 15. 33 11.【解析】200人，高中生共有9000人，抽取900，抽取比例为

900，故A类学校中应9000抽学生2000?1?200人。 105

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