高考数学总复习配套教案：9.11直线与圆锥曲线的综合应用(2)(2)

(1) 若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；

(2) 设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．

解：(1) 设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由垂径定理，得圆心C1到直

|－3k－1－4k|2 3?2?2

线l的距离d＝2－＝1，结合点到直线距离公式，得＝1，化简得

?2?k2＋1

7

24k2＋7k＝0，解得k＝0或k＝－.

24

7

所求直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.

24

1

(2) 设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，

k

11

即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋m＝0.

kk

因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．由垂

|－3k－1＋n－km|

径定理，得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等．故有＝

k2＋1

?－4－5＋n＋1m?

k??k

，化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.

1＋1k2??2－m－n＝0，??m－n＋8＝0，

因为关于k的方程有无穷多解，所以有?或?

?m－n－3＝0?m＋n－5＝0，??

31351－，?或?，－?. 解得点P坐标为?2??22??2

备选变式（教师专享）

x22

已知椭圆＋y＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N

4

两点．

(1) 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

(2) 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．

解：(1) 直线AM的斜率为1时，直线AM为y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0，

6

解之得x1＝－2，x2＝－，

564－，?. ∴ 点M的坐标为??55?(2) 设直线AM的斜率为k，则AM为y＝k(x＋2)，

y＝k（x＋2），??2则?x化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0. 2

??4＋y＝1，

2－8k2

∵ 此方程有一根为－2，∴ xM＝，

1＋4k22k2－8

同理可得xN＝2.

k＋4

6

－，0?. 由(1)知若存在定点，则此点必为P??5?

2

?2－8k＋2?k???1＋4k2?yM5k

∵ kMP＝＝＝， 262－8k64－4k2xM＋＋51＋4k25

5k

同理可计算得kPN＝.

4－4k26

－，0?. ∴直线MN过x轴上的一定点P??5?

(理)题型4 轨迹问题

→→

例4 如图，已知梯形ABCD中|AB|＝2|CD|，点E满足AE＝λEC，双曲线过C、D、

23

E三点，且以A、B为焦点．当≤λ≤时，求双曲线离心率e的取值范围．

34

解：如题图，以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于

c1

，h?，E(x0，y0)，其中c＝|AB|为双曲线的半焦距，y轴对称．根据已知，设A(－c，0)，C??2?2

c（λ－2）cλh→→

－x0，h－y0?，h是梯形的高．由AE＝λEC，即(x0＋c，y0)＝λ?得x＝，y＝.0?2?2（1＋λ）01＋λ

x2y2c

不妨设双曲线的方程为2－2＝1，则离心率e＝.

aba

c

由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e＝代入双曲线的方程得

a

22eh

－＝1，①4b2

e2?λ－2?2?λ?2h2

?－2＝1，②4??λ＋1??λ＋1?bh2e2

由①式得2＝－1， ③

b4

e2323

将③式代入②式，整理得 (4－4λ)＝1＋2λ，所以λ＝1－2.由已知≤λ≤，所以

434e＋2

233

≤1－2≤，解之得 7≤e≤10，所以双曲线的离心率的取值范围为[7，10]． 3e＋24

备选变式（教师专享）

在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4，0)、B(4，0)，动点P与A、B连线的斜

1

率之积为－. 4

(1) 求点P的轨迹方程；

(2) 设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C.半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得的弦长为3r.

???

(ⅰ) 求圆M的方程； (ⅱ) 当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．

yy

解：(1) 设P(x，y)，则直线PA、PB的斜率分别为k1＝、k2＝.

x＋4x－4

yy1x2y2

由题意知·＝－，即＋＝1(x≠±4)．

4164x＋4x－4

x2y2

所以动点P的轨迹方程是＋＝1(x≠±4)．

164

(2) (ⅰ)由题意C(0，－2)，A(－4，0)， 所以线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3. 设M(a，2a＋3)(a＞0)，

则圆M的方程为(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2. 圆心M到y轴的距离d＝a，

2

r22?3r?由r＝d＋，得a＝. 2?2?r?2

?所以圆M的方程为?x－2?＋(y－r－3)2＝r2.

(ⅱ)假设存在定直线l与动圆M均相切． 当定直线的斜率不存在时，不合题意． 设直线l：y＝kx＋b， ?k×r－r－3＋b??2?则＝r对任意r＞0恒成立．

1＋k2?k－1?r＋（b－3）?＝r1＋k2， 由???2??

2

k?2

－1r＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2. 得??2?

2

?k－1?＝1＋k2，4??2???k＝0，?k＝－3，所以解得?或?

（k－2）（b－3）＝0，?b＝3???b＝3.2

（b－3）＝0，

所以存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切．

?????

【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分14分)

x2y21

如图，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的

ab2

直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.

(1) 求椭圆E的方程；

(2) 设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

学生错解：解：(1) 略

y＝kx＋m，??22

(2) 由?xy消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.

?4＋3＝1，?

因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0， 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)

4km4k3

此时x0＝－2＝－，y0＝kx0＋m＝，

mm4k＋3

4k3－，?. 所以P??mm???x＝4，由?得Q(4，4k＋m)． ?y＝kx＋m，?

假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．

→→

设M(x1，0)，则MP·MQ＝0对满足(*)式的m，k恒成立．

4k3→→

－－x1，?，MQ＝(4－x1，4k＋m)， 因为MP＝?m??m

→→

由MP·MQ＝0，

16k4kx112k得－＋－4x1＋x2＋3＝0， 1＋mmm

k

整理，得(4x1－4)＋x2－4x1＋3＝0.(**)，方程无解．

m1

故不存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M.

审题引导： (1) 建立方程组求解参数a，b，c；(2) 恒成立问题的求解；(3) 探索性问题的一般解题思路．

规范解答： 解：(1) 因为AB＋AF2＋BF2＝8， 即AF1＋F1B＋AF2＋BF2＝8，(1分) 又AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝2a，(2分) 所以4a＝8，a＝2.

1c1

又因为e＝，即＝，所以c＝1，(3分)

2a2

所以b＝a2－c2＝3.

x2y2

故椭圆E的方程是＋＝1.(4分)

43

y＝kx＋m，??22

(2) 由?xy

＋＝1，??43

消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.(5分)

因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，(6分) 即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0， 化简得4k2－m2＋3＝0.(*)(7分)

4km4k3

此时x0＝－2＝－，y0＝kx0＋m＝，

mm4k＋3

4k3

－，?.(8分) 所以P??mm???x＝4，由?得Q(4，4k＋m)．(9分) ?y＝kx＋m，?

假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．(10分)

→→

设M(x1，0)，则MP·MQ＝0对满足(*)式的m，k恒成立．

4k3→→

－－x1，?，MQ＝(4－x1，4k＋m)， 因为MP＝?m??m

→→

由MP·MQ＝0，

16k4kx112k得－＋－4x1＋x2＋＋3＝0， 1

mmm

k

整理，得(4x1－4)＋x2－4x1＋3＝0.(**)(12分)

m1

由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，

?4x1－4＝0，?所以?2解得x1＝1.(13分)

?x－4x＋3＝0，?11

故存在定点M(1，0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.(14分)

错因分析： 本题易错之处是忽视定义的应用；在处理第(2)问时，不清楚圆的对称性，从而不能判断出点M必在x轴上．同时不会利用恒成立求解．

1. 已知抛物线y＝2px(p≠0)上存在关于直线x＋y＝1对称的相异两点，则实数p的取值范围为________．

20，? 答案：??3?

解析：设抛物线上关于直线x＋y＝1对称的两点是M(x1，y1)、N(x2，y2)，设直线MN的方程为y＝x＋b.将y＝x＋b代入抛物线方程，得x2＋(2b－2p)x＋b2＝0，则x1＋x2＝2p－2b，y1＋y2＝(x1＋x2)＋2b＝2p，则MN的中点P的坐标为(p－b，p)．因为点P在直线x＋y＝1上，所以2p－b＝1，即b＝2p－1.又Δ＝(2b－2p)2－4b2＝4p2－8bp＞0，将b＝2p－1代

2

入得4p2－8p(2p－1)＞0，即3p2－2p＜0，解得0＜p＜.

3

2

2. 已知抛物线y＝2px(p≠0)及定点A(a，b)，B(－a，0)，ab≠0，b2≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM、BM与抛物线的另一个交点分别为M1、M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为________．

2paa，? 答案：?b??

2y0y2y212?????解析：设M?2p，y0?，M1?2p，y1?，M2?2p，y2??，

y0－by1－y0

由点A、M、M1共线可知2＝2，

y0y1y20－a－2p2p2p

by0－2pa

得y1＝，

y0－b

2pa

同理由点B、M、M2共线得y2＝.

y0

设(x，y)是直线M1M2上的点， y2－y1y2－y则2＝2， y2y2y21－－x2p2p2p

即y1y2＝y(y1＋y2)－2px，

by0－2pa2pa

又y1＝，y2＝，

y0y0－b

2

则(2px－by)y0＋2pb·(a－x)y0＋2pa·(by－2pa)＝0.

2pa

当x＝a，y＝时上式恒成立，

b2paa，?. 即定点为?b??

3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为(1，0)． (1) 求抛物线C的标准方程；

2

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