第九章 平面解析几何第
?对应学生用书（文）141～144页??? ? （理）147～150页?
11课时 直线与圆锥曲线的综合应用(2)
考情分析 会求定点、定值、最值等问题；掌握函数与方程等价转换、分类讨论等思想方法．
考点新知
掌握圆锥曲线的简单应用. x2y2
1. (选修11P44习题4改编)以双曲线－＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为
45
焦点的拋物线方程是__________．
答案：y2＝12x
x2y2
解析：双曲线－＝1的中心为O(0，0)，该双曲线的右焦点为F(3，0)，则拋物线的
45
顶点为(0，0)，焦点为(3，0)，所以p＝6，所以拋物线方程是y2＝12x.
2. 以双曲线－3x2＋y2＝12的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是________．
x2y2
答案：＋＝1
416
y2x2
解析：双曲线方程可化为－＝1，焦点为(0，±4)，顶点为(0，±23)．∴ 椭圆的
124
x2y2
焦点在y轴上，且a＝4，c＝23，此时b＝2，∴ 椭圆方程为＋＝1.
416
22xy
3. 若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p＝________．
62
答案：4
x2y2p
解析：椭圆＋＝1的右焦点(2，0)是抛物线y2＝2px的焦点，所以＝2，p＝4.
622
2y→→
4. 已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则PA1·PF2
3
的最小值为________．
答案：－2
解析：设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1，0)，F2(2，0)，由双曲线方程得y2＝
→→
3(x2－1).PA1·PF2＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋y2－x－2＝x2＋3(x2
1?281→→2?－1)－x－2＝4x－x－5＝4?x－8?－，其中x≥1.因此，当x＝1时，PA1·PF2取得最小值
16
－2.
x22x202
5. 已知椭圆C：＋y＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足＋y0≤1，则PF1＋PF2
22
的取值范围为________．
答案：[2，22]
解析：当P在原点处时，PF1＋PF2取得最小值2；当P在椭圆上时，PF1＋PF2取得最大值22，故PF1＋PF2的取值范围为[2，22]．
1. 圆锥曲线的统一定义
平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的轨迹． 当0
在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2) 以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线(图形)．
3. 平面解析几何研究的两个主要问题
(1) 根据已知条件，求出表示曲线的方程； (2) 通过曲线的方程研究曲线的性质． 4. 求曲线方程的一般方法(五步法)
求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：
(1) 建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标； (2) 写出适合条件p的点M的集合P＝{M|p(M)}； (3) 用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4) 化方程f(x，y)＝0为最简形式；
(5) 说明已化简后的方程的解为坐标的点都在曲线
上.
题型1 最值问题
x2y21
例1 如图，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为
ab2
10.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 求△ABP面积取最大值时直线l的方程．
x2y2
所以椭圆方程为＋＝1.
43
(2) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，?y＝kx＋m，?由?2消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，① 2
??3x＋4y＝12
则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，
8km
x1＋x2＝－，3＋4k2
4m2－12x1x2＝，3＋4k22（2＋c）＋1＝10，?c＝1，???
解：(1) 设椭圆左焦点为F(－c，0)，则由题意得?c1得?
?a＝2.???a＝2，
??
???
4km3m
所以线段AB的中点为M?－3＋4k2，3＋4k2?.
??
－2km13m3
因为M在直线OP：y＝x上，所以＝22，得m＝0(舍去)或k＝－. 223＋4k3＋4k
?x1＋x2＝m，m2－3所以AB＝
??x1x2＝3.|8－2m|2|m－4|39
1＋k2·|x1－x2|＝·12－m2，设点P到直线AB的距离为d，则d＝2＝.
6133＋2213
设△ABP的面积为S，则S＝AB·d＝·（m－4）2＋12－m2.其中m∈(－23，0)∪(0，
26
23)．令u(m)＝(12－m2)(m－4)2，m∈[－23，23]，u′(m)＝－4(m－4)(m2－2m－6)＝－4(m－4)·(m－1－7)(m－1＋7)．所以当且仅当m＝1－7时，u(m)取到最大值．故当且仅当m＝1－7时，S取到最大值．综上，所求直线l的方程为3x＋2y＋27－2＝0.
变式训练
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴交于A、B两点，其右准线l与x轴交于T点，直线BF交椭圆于C点，P为椭圆上弧AC上的一点．
此时方程①为3x2－3mx＋m2－3＝0，则Δ＝3(12－m2)＞0，?
?
(1) 求证：A、C、T三点共线；
6＋2→→
(2) 如果BF＝3FC，四边形APCB的面积最大值为，求此时椭圆的方程和P点坐
3
标．
a2?x2y2?(1) 证明：设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0) ①，则A(0，b)，B(0，－b)，T?c，0?.
ab
2
c?2
?2a?a2＋c2?xyxy2a2cb3
AT：2＋＝1 ②，BF：＋＝1 ③，解得交点C(22，22)，代入①得
abc－ba2a＋ca＋cc32?2b2??a＋c?4a2c2（a2－c2）2＋＝＝1，满足①式，则C点在椭圆上，即A、C、T三点共线．
b2（a2＋c2）2(2) 解：过C作CE⊥x轴，垂足为E， 则△OBF∽△ECF.
22?4c??b??3??3?4cb?11→→
，，代入①得2＋2＝1，∴ a2＝2c2，∵ BF＝3FC，CE＝b，EF＝c，则C??33?33ab
214c422?4cc?b2＝c2.设P(x0，y0)，则x0＋2y2 0＝2c.此时C3，3，AC＝ 5c，S△ABC＝·2c·＝c，??3233
|x0＋2y0－2c|x0＋2y0－2c
直线AC的方程为x＋2y－2c＝0，P到直线AC的距离为d＝＝，
55
x0＋2y0－2c11x0＋2y0－2c2
S△APC＝d·AC＝·· 5c＝·c.只须求x0＋2y0的最大值，
22335
2222222
(解法1)∵ (x0＋2y0)2＝x22x0y0≤x20＋4y0＋2·0＋4y0＋2(x0＋y0)＝3(x0＋2y0)＝6c，∴ x0
6＋2y0≤6c.当且仅当x0＝y0＝c时，(x0＋2y0)max＝6c.
3
2222222
(解法2)令x0＋2y0＝t，代入x20＋2y0＝2c得(t－2y0)＋2y0－2c＝0，即6y0－4ty0＋t－
6
2c2＝0.Δ＝(－4t)2－24(t2－2c2)≥0，得t≤6c.当t＝6c，代入原方程解得x0＝y0＝c.
3
6－22426＋226＋2
∴ 四边形的面积最大值为c＋c＝c＝，∴ c2＝1，a2＝2，b2＝1，
3333
2x66
此时椭圆方程为＋y2＝1.P点坐标为?，?.
23??3
题型2 定值问题
x2y2
例2 如图，椭圆C0：2＋2＝1(a>b>0，a、b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t21，b
(1) 求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程； (2) 设动圆C2：x2＋y2＝t22与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b
若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t21＋t2为定值．
(1) 解：设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a，0)，A2(a，0)，
y1则直线A1A的方程为y＝(x＋a)，①
x1＋a－y1
直线A2B的方程为y＝(x－a)．②
x1－a
－y212
由①②得y＝22(x2－a2)．③
x1－a
2x1y21由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故2＋2＝1.
ab
22x1?xy222?从而y1＝b?1－a2?，代入③得2－2＝1(x<－a，y<0)．
ab
(2) 证明：设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，
2x1?x22222222?22?故x1y1＝x2y2.因为点A，A′均在椭圆上，所以bx1?1－a2?＝bx2?1－a2??.由t1≠t2，知x1≠
222222222
x2，所以x21＋x2＝a，从而y1＋y2＝b，因此t1＋t2＝a＋b为定值．
备选变式（教师专享）
x2y2
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(4m，0)(m＞0，
ab
m为常数)，离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点．
(1) 求椭圆C的标准方程；
115 2
(2) 若θ＝90°，＋＝，求实数m；
MFNF911
(3) 试问＋的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．
MFNF
c4
解：(1) ∵ c＝4m，椭圆离心率e＝＝，
a5
∴ a＝5m.∴ b＝3m.
x2y2
∴ 椭圆C的标准方程为＋＝1.
25m29m2x2y2
(2) 在椭圆方程＋＝1中，
25m29m29m
令x＝4m，解得y＝±.
5
9m1110
∵ 当θ＝90°时，直线MN⊥x轴，此时FM＝FN＝，∴ ＋＝.
5MFNF9m
115 2105 2∵ ＋＝，∴ ＝，解得m＝2. MFNF99m911(3) ＋的值与θ的大小无关．
MFNF
证明如下：(证法1)设点M、N到右准线的距离分别为d1、d2. MF4NF411511?＋. ∵ ＝，＝，∴ ＋＝?d15d25MFNF4?d1d2?a29m
又由图可知，MFcosθ＋d1＝－c＝，
c4
49m144
cosθ＋1?＝，即＝?cosθ＋1?. ∴ d1??5?4?d19m?514444
cos（π－θ）＋1?＝(－cosθ＋1)． 同理，＝??9m5d29m?5
1144448
cosθ＋1?＋(－cosθ＋1)＝. ∴ ＋＝??9m5d1d29m?59m
115810∴ ＋＝·＝. MFNF49m9m显然该值与θ的大小无关．
(证法2)当直线MN的斜率不存在时，
11
由(2)知，＋的值与θ的大小无关．
MFNF
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝k(x－4m)，
x2y2
代入椭圆方程＋＝1，得
25m29m2(25k2＋9)m2x2－200m3k2x＋25m4(16k2－9)＝0. 设点M(x1，y1)、N(x2，y2)， ∵Δ＞0恒成立，
25m2（16k2－9）200mk2
∴ x1＋x2＝2，x1·x2＝.
25k＋925k2＋9
MF4NF4∵＝，＝， 25m525m5
－x1－x244
44
∴ MF＝5m－x1，NF＝5m－x2.
55
1111∴＋＝＋ MFNF44
5m－x15m－x2
554
10m－（x1＋x2）
590k2＋9010
＝＝＝. 21681mk＋81m9mx1x2－4m（x1＋x2）＋25m225
显然该值与θ的大小无关． 题型3 定点问题
例3 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
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