周世国：曲线曲面积分部分难题解答
其中
S1:z?0, dS1?dxdy，
???xS12?ydS?2????xDxy2?ydxdy?4?2d??r.rdr
2200??a ??a24；
S2:z?h, dS2?dxdy，
???xS22?ydS?2????xDxy2?ydxdy?4?2d??r.rdr
2200??a ??a24；
?0?z?h,??a?y?a.S3:x?y22?a,其向yoz2面上的投影区域为Dyz:?. 将曲面S3方程化
为x??a2?y2，则
?x?y??ya?y22,
?x?z?0,，所以，
dS?
因此
??x1????y????x?????dydz????z??22aa?y22dydz.
???xS32?y?dS3?2??2Dyzah2????a?y22?2?y2?.??aa?y22dydz
?2a3??ady?1a?y20dz?4aharcsin3|a2ya0?2?ah..
3或者
所以
???xS32?ydS3?2???S3.adS?a.2?ah?2?a.h.
23???1?x?y?SdS2????xS12?y2?dS????xS22?y2?????xS32?ydS2?
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周世国：曲线曲面积分部分难题解答
??2a???x?S4??2a?2?ah??a433?a?2h?.
（ⅲ）由积分区域的对称性，及被积函数的奇偶性知，显然
y?z?dS???xdSS???SydS????x?y?z?dS?0.11．（P210,第3题）证明泊松公式1?1 a?b?cdu222S ??f?ax?by?cz?dS?2??f?uS?
其中S为球面x2?y2?z2?1,a2?b2?c2?0，f为连续函数.
证明：取新的空间直角坐标系Ouvw，其中原点不变，使坐标平面Ouvw与平面
ax?by?cz?0重合，并使Ou轴垂直于平面ax?by?cz?0.则有
其实根据坐标系Ouvw选取方法的描述，我们不难看出Ou轴上的单位向量就可取作平面ax?by?cz?0的单位法线向量.则 u?ax?by?cza?b?c222 （1）
（注意到，显然u?则
ax?by?cza?b?c222为点P?x,y,z?到平面ax?by?cz?0的距离）.
??f?ax?by?cz?dS?S??Sfua?b?cdS
?222?显然在新坐标系下，球面的形状并未改变（仍记为S），且它的方程应为 u2?v2?w2?1 （2） （因为在新的坐标系下，任何一个球面上的点到原点的距离仍然为1.）
由（2）式可得： v?w?22?1?u? （3）
22当u固定时，（3）式其实就表示垂直于Ou轴平面上的一个圆周. 进一步，我们把S化为参数方程表示：
u?u,?? ?v?1?u2cos?,?1?u?1,0???2?.
?w?1?u2sin?,?????1,vuuu?u1?u2??cos?,wu?u1?u2sin?;
??0,v????1?u2sin?,w???u?
1?ucos?.
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2周世国：曲线曲面积分部分难题解答
于是，
222??vu??wu?? E?uu11?u2;
?.u???vu?.v???wu?.w???0; F?uu??v???w??G?u?222?1?u.
2因此， 曲面的元素dS?故
?EG?F?|?2u,v?dudv?dudv （4）
??Sf?ax?by?cz?dS???Sfua?b?cdS
?222???2?0d??fua?b?cdu?2??fua?b?c?1?11?222?1?222?du.
12（P210,第4题）设某种物质均匀分布在球面x2?y2?z2?a2上（认为分布密度??1）.求它对于oz轴的转动惯量. 解：由公式 J????xS2?ydS2?
2由对称性
J?8???x2?y2?dSS1其中
S
?z?x??1:z?a?x?y22，则
ya?x?y22xa?x?y2222,?z???y2，所以，
2 dS?因此
??z???z?1????????x???y?dxd?yaa?x?y222d. xdy S?8S1?8???x2?y2?.Dxy极aa?x?y.rdr?4?a?aa222 dxdy2?20 ?8a?d?? ??4?a?aar222?r?a22??a220a?r0.rdr
a?r1a?r22022a?r.rdr?4?a3?0.rdr
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周世国：曲线曲面积分部分难题解答
?2?a?a0a?r.da?r22?22??2?a?3a21a?r220.da?r?22?
?2?a.3?a22?r2?|243a0?2?a.2a?r8?32432|a0
??43?a中
r??x,y,z?.4?4?a ?a.
?z?113（P217,第1题）沿圆锥面S?x?y2?的下侧，求曲面积分??r.dS，其
S
??xdydzS解：??r.dS?S?ydzdx?zdxdy
化为第一型曲面积分计算.S的向下的法向量
??n??z?,z?y,?1???x??xx?y22,yx?y22??,?1?，所以 ??y1??,??,cos?,cos??. ???cos2?? n故
0??????n?nx2x?y22,2x?y22??r.dSS???xdydzS?ydzdx?zdxdy
?z???dS2??????x.cos?S?y.cos??z.cos??dS???S?????x2?22y2222
2x?yx?y???S????x?y2x?y2222z??dS（根据第一型曲面积分的计算方法） ?2???x?y222??????Dxy?2??2dxdy?0. ??xa2214（P217,第2题）沿椭球面
?dydzdzdxdxdy???????.yz??x?yb22?zc22?1的外侧，求曲面积分
??S
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周世国：曲线曲面积分部分难题解答
解：把S分割为S1,S2两个部分.
其中，S1:z?c1?x22?y22（上侧）；S2:z??c1?x22?y22（下侧）.
abab2Sx21,S2向xoy面上的投影区域均为Dxy:a2?yb2?1.
故
??dxdy???12dxdy
S1zDxyc1?x2a2?yb2作变量代换： ?x?arco?s,?
?y?brsin?. 由二重积分的换元法
??1122dxdy???abrd?dr.
Dxyc1?xD?c1?r2a2?yb2其中 ?x?x J???x,y?????r,????r?y?acos??arsin??ybsin?brcos??abr
?r?? D?:?0?r?1,?0???2?.
?所以
??dxdy2dxdy???1?
S1z???1Dxyc1?x2D?c1?r2abrddra2?yb2?ab??1c?20d??110rdr?abdr所以，
1?r2c?20d??10r1?r2???ab11ab?12abc?0?1?r2???c?21?r2d??21?r|?0???c?. 同理 ??dxdy??1dxdy22
S2z??Dxy?c1?xa2?yb2 1）
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（
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