案例10

1.2 线性规划应用举例

如何将一个复杂的实际问题转化为一个合理的线性规划模型既是一门科学，又是一门艺术。仅仅了解求解线性规划的数学原理是不够的，还需要在实践中学习将实际问题抽象为数学模型的技巧，不断总结和提高构造模型的技术，才能真正将线性规划技术应用到实际中。下面再列举几个比较典型的线性规划问题。

1.2.1 调和问题

调和问题是研究将若干种不同的原料按一定的技术要求调和成不同的产品，例如化工、塑料、冶炼、石油加工都会遇到调和问题。典型的调和问题包含了具有不同技术特性的原料和产品并有相应的成本和价格与之相关。调和问题的目标是在满足产品需求和调和指标的前提下使调和成本最小或生产收益最大。

例1.4 新星炼油厂生产三种牌号的汽油：70＃，80＃和85＃汽油。每种汽油有不同的辛烷值和含硫量的质量要求并由三种原料油调和而成。每种原料也有不同的质量指标。每种原料每日可用数量、质量指标和生产成本见表1.2，每种汽油的质量要求和销售价格见表1.3。问该炼油厂如何安排生产才能使其利润最大？假定在调和中辛烷值和含硫量指标都符合线性相加关系。

表1.2 汽油组分的质量和成本数据

序号i 1 2 3 原料 直馏汽油 催化汽油 重整汽油 辛烷值 62 78 90

1

含硫量％ 1.5 0.8 0.2 成本(元/吨) 600 900 1400 可用量(吨/日) 2000 1000 500 表1.3 汽油产品的质量和价格数据

序号i 1 2 3 产品 70＃汽油 80＃汽油 85＃汽油 辛烷值 ≥70 ≥80 ≥85 含硫量％ ≤1 ≤1 ≤0.6 销售价(元/吨) 900 1200 1500 这个问题要比前两个问题要复杂一些。首先决策变量的选择就不很直观。如果定义决策变量为各种汽油的产量，在写模型时会遇到不少麻烦。正确的方法是定义决策变量xij代表第i种原料调入第j种成品汽油的数量。令pj代表第

j种产品的销售价格，ci为第i种原料的生产成本，ei和ej分别为原料和产品的

辛烷值，hi和hj分别为原料和产品的含硫量，si为原料每日的可用量，则模型可写为：

max??(pj?ci)xij

i?1j?133s..t?(ei?ej)xij?0 j?1,2,3

i?133

?(h?h)x?ijiji?10 j? 1 ,2 ,3 （1.7）

?xj?13ij?s i i ?1, 2,3 xij?0

模型（1.7）目标函数的意义很清楚：调入j种产品的i种原料的产品售价与原料成本之差(pj?ci)即为调和组分xij对目标函数（利润）的贡献。前两个约束方程分别是辛烷值和含硫量的质量约束，每种产品都有两个质量约束。我们仅举70＃汽油的辛烷值含量为例来说明这些约束的写法。该约束写可为：

62x11?78x21?90x31?70(x11?x21?x31)

（1.8）

不等式（1.8）左边是调入70＃汽油不同组分油辛烷值含量的总和，右端则为

2

70＃汽油质量要求的最低标准，x11?x21?x31代表70＃汽油的实际产量，整理后可得：

(62?70)x11?(78?70)x21?(90?70)x31?0

（1.9）

式（1.9）与（1.7）的形式一样。最后一组约束表示所用原料不能超过原料可用量的限制。将数据代入并化简后的模型如下：

max 300x11?600x12?900x13?300x22 ?600x23?50x031?2x0302?1x 00s.. t?8x11?8x21?20x31?0 ?18x12?2x22?10x ?? 0.5x11?0.x2?21 0.5x12?0.x2?22 0.9x13?0.x2?2332? 00.x38?1 0.x38?2 0.x34?3

000 x11?x1?2000 2x?13 x21?x2?1000 2x?23 x31?x3?500 2x?33 xij?0 i ?1,2j,?3; 11.2.2 生产工艺优化问题

许多企业的生产过程是一个连续的生产过程，各道工序之间有紧密和稳定的联系，这些生产过程是可以用数学模型来描述的。应用数学模型，人们可以优化生产过程，提高设备利用效率，提高企业的经济效益。特别是线性规划可以求解规模较大的问题，因此在生产工艺优化方面大有用武之地。

例1.5 佳丽化工厂生产洗衣粉和洗涤剂。生产原料可以从市场上以每千克5元的价格买到。处理1千克原料可生产0.5千克普通洗衣粉和0.3千克普通洗

3

涤剂。普通洗衣粉和普通洗涤剂可分别以每千克8元和12元的价格在市场上出售。工厂设备每天最多可处理4吨原料，每加工1千克原料的成本为1元。为生产浓缩洗衣粉和高级洗涤剂，工厂还可继续对普通洗衣粉和普通洗涤剂进行精加工。处理1千克普通洗衣粉可得0.5千克浓缩洗衣粉，处理1千克普通洗涤剂可得0.25千克高级洗涤剂。加工示意图见图1.2。浓缩洗衣粉的市场价格为每千克24元，高级洗涤剂的价格为每千克55元。每千克精加工产品的加工成本为3元。如果产品市场和原料供应没有限制，问该工厂如何生产能使其利润最大？

0.5y1千克洗衣粉 x1千克普通洗衣粉 x2千克浓缩洗衣粉 y1千克原材料 0.3y1千克洗涤剂 x3千克普通洗涤剂 x4千克秘级洗涤剂

图1.2 佳丽化工加工示意图

解：设x1为普通洗衣粉的产量，x2为浓缩洗衣粉的产量，x3为普通洗涤剂的产量，x4为高级洗涤剂的产量，y1为原材料的供应量。模型的目标函数可写为：

工厂利润＝8x1?12x3?24x2?55x4?3x2?3x4?(5?1)y1

目标函数的前四项是产品的销售收入，第五项、第六项是精加工成本，最后一项是原料的采购和加工成本。模型的约束主要是物流的平衡约束，例如对洗衣粉生产有如下的平衡关系：0.5y1?x1?x2/5，整理可得：0.5y1?x1?2x2?0；同理可得洗涤剂的平衡约束：0.3y1?x3?4x4?0。最后可得线性规划模型为：

4

max8x1?11x2?21x3?52x4?6y1

s.t 0.5y1?x1?2x2?0 0.3y1?x3?4x4?0

y1?4000 x1,x2,x3,x4,y1?1

1.2.3 多周期动态生产计划问题

线性规划还可以用来描述多周期的动态生产计划问题，在动态的生产计划问题中，管理者可以考虑在不同的生产周期中的生产平衡问题，并可在加班生产平衡和库存中进行权衡以降低总生产成本。下面是一个简单的多周期生产计划的例子。

例1.6 华津机器制造厂专为拖拉机厂配套生产柴油机。今年头四个月收到的订单数量分别为3000台，4500台，3500台，5000台柴油机。该厂正常生产每月可生产柴油机3000台，利用加班还可生产1500台。正常生产成本为每台5000元，加班生产还要追加1500元成本，库存成本为每台每月200元。华津厂如何组织生产才能使生产成本最低？

解：设xi为第i月正常生产的柴油机数，yi为第i月加班生产的柴油机数，

zi为第i月月初柴油机的库存数。如果令di为i月遥需求，第一个月期初的库存为零，则模型的目标函数为：

min?(5000xi?6500yi?200zi)

i?14约束的一般形式为：

xi?yi?zi?zi?1?di i?1,2,3,4

5

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