薛定谔方程与它的基本意义(2)

；

其中， 是动量， 是质量。

特别注意，能量 与动量 也出现于以下两个关系方程。 (2) 1905年，爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量 正比：

其中， 是普朗克常数，

是角频率。

与对应的电磁波的频率 成

(3) 1924年，路易·德布罗意提出德布罗意假说，说明所有的粒子都具有波的性质，可以用一个波函数

来表达。粒子的动量

与伴随的波函数的波长 有关：

；

其中，用矢量表达，

是波数。

。

[编辑] 波函数以复值平面波来表达波函数

1925年，薛定谔发现平面波的相位，可用一个相位因子来表示：

。

他想到

，

因此

。

并且相同地由于

，

故

。

因此得到

。

再由经典力学的公式，一个粒子的总能为

，质量为

，在势能

处移动：

。

薛定谔得到一个单一粒子在一维空间有位能之处移动时的方程：

。

[编辑] 薛定谔的导引

思考一个粒子，运动于一个保守的位势

。我们可以写出它的哈密顿-雅可比方程

；

其中，

是哈密顿主函数。

由于位势显性地不相依于时间，哈密顿主函数可以分离成两部分：

；

其中，不相依于时间的函数

是哈密顿特征函数，

是能量。

将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到

；

哈密顿主函数随时间的全导数是

。

思考哈密顿主函数 方程为

的一个常数的等值曲面

。这常数的等值曲面

在空间移动的

。

所以，在设定等值曲面的正负面后，

朝着法线方向移动的速度

是

这速度

。

是相速度，而不是粒子的移动速度 ：

。

我们可以想像 为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，试着给予粒子一个相位与 成比例的波函数：

；

其中， 是常数，

是相依于位置的系数函数。

波函数，成为 。

注意到

的量纲必须是频率，薛定谔突然想起爱因斯坦的光电效应理论

，粒子的波函数 ；

其中，

的波动方程为

。

变为

；

将哈密顿主函数的公式代入

其中， 是约化普朗克常数， 是角频率。设定

。

将

波函数代入波动方程，经过一番运算，得到

。

注意到 。稍加编排，可以导引出薛定谔方程：

。

[编辑] 特性

[编辑] 线性方程

主条目：态叠加原理

薛定谔方程是一个线性方程。满足薛定谔方程的波函数拥有线性关系。假若

与

是某薛定谔方程的解。设定

，

其中， 与 则

是任何常数。

也是一个解。

[编辑] 证明

根据不含时薛定谔方程 (1) ，

，

。

线性组合这两个方程的解，

。

所以， 也是这含时薛定谔方程的解，证明含时薛定谔方程是一个线性方程。 类似地，我们可以证明不含时薛定谔方程是一个线性方程。

[编辑] 实值的本征态

不含时薛定谔方程的波函数解答，也符合线性关系。但在这状况，线性关系有稍微不同的意义。假若两个波函数

与

都是某不含时薛定谔方程的，能量为

的解答。

的解答，则这

两个不同的波函数解答为简并的。任何线性组合也是能量为

。

对于任何位势，都有一个明显的简并：假若波函数 数

是某薛定谔方程的解答，则其共轭函

也是这薛定谔方程的解答。所以， 的实值部分或虚值部分，都分别是解答。我们

只需要专注实值的波函数解答。这限制并不会影响到整个不含时问题。

转移焦点到含时薛定谔方程，两个复共轭的波，以相反方向移动。给予某含时薛定谔方程的解答

。其替代波函数是另外一个解答：

。

这解答是复共轭对称性的延伸。称复共轭对称性为时间反转。

[编辑] 幺正性

在量子力学里，对于任何事件，所有可能产生的结果的几率总和等于 1 ，称这特性为幺正性。薛定谔方程能够自动地维持幺正性。用波函数表达，

。(3)

为了满足这特性，必须将波函数归一化。假若，某一个薛定谔方程的波函数 未归一化。由于薛定谔方程为线性方程，的波函数。设定

尚

与任何常数的乘积还是这个薛定谔方程

是归一常数，使得

；其中，

。

这样，新波函数

还是这个薛定谔方程的解答，而且，

相依于时

已经被归一化了。在这里，特别注意到方程 (3) 的波函数

间，而随着位置的积分仍旧可能相依于时间。在某个时间的归一化，并不保证随着时间的演化，波函数仍旧保持归一化。薛定谔方程有一个特性：它可以自动地保持波函数的归一化。这样，量子系统永远地满足幺正性。所以，薛定谔方程能够自动地维持幺正性。 [编辑] 证明

总几率随时间的微分表达为

。(4)

思考含时薛定谔方程，

。

其复共轭是

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