2008年宣武初三数学一模试题及答案(2)

23．(7分)如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD

的边AB、CD、DA上，且AH＝2，连结CF．

(1)当DG＝2时，试求菱形EFGH的边长与△FCG的面积； (2)设DG＝x，试用含x的代数式表示△FCG的面积； (3)请判断△FCG的面积能否等于1，并说明理由．

第23题图

24．(7分)已知：直线y＝x＋6交x轴、y轴于A、C两点，经过A、O两点的抛物线y＝ax2

＋bx(a＜0)的顶点B在直线AC上． (1)求A、C两点坐标．

(2)求出该抛物线的函数关系式．

(3)以B点为圆心，以AB为半径作⊙B，将⊙B沿x轴翻折得到⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系．

(4)若E为⊙B上一动点，连结AE、OE，问在抛物线上是否存在一点M，使∠MOA∶∠AEO＝2∶3，若存在，试求出点M的坐标；若不存在，试说明理由．

第24题图

25．(7分)在坐标平面上，点P从点M(3，1)出发，沿射线OM方向以每秒1个单位长度

的速度做匀速运动，在运动过程中，以OP为对角线的矩形OAPB的边长OA∶OB＝1∶

3．过点O且垂直于射线OM的直线l与点P同时出发，且与点P沿相同的方向、以

相同的速度运动．

(1)在点P运动过程中，试判断AB与y轴的位置关系，并说明理由；

(2)设点P与直线l都运动了t秒，求此时的矩形OAPB与直线l在运动过程中所扫过区域的重叠部分的面积S(用含t的代数式表示)．

第25题图

答 案

27．2008年北京市宣武区中考数学一模试卷

一、选择题

1．C 2．D 3．A 4．B 5．C 6．B 7．D 8．C 二、填空题

9．＞ 10．8 11．①④ 12．466 三、解答题 13．解：??12??1?x?x?1???x2?3x?1??x2?4x?x(x?4)． ?2??2?其他情况如下：

?12??12?2?x?x?1???x?x??x?1?(x?1)(x?1)； ?2??2??12??12?22x?3x?1????x?x??x?2x?1?(x?1)． ?2??2?14．解：(x－1)(1－2x)＋2x(x＋1)＝0． －2x2＋3x－1＋2x2＋2x＝0． 5x－1＝0． 5x＝1．

11x?．经检验，x?是原方程的解．

554x3x???，得x＞－1， 15．解：解3－x＞0，得x＜3．解

326∴原不等式组的解集是－1＜x＜3．解集在数轴上表示如下：

第15题答图

16．解：Δ＝42－4(m－1)＝20－4m．

要使方程有两个不相等的实数根，必须有Δ＞0，

即20－4m＞0，∴m＜5．∵m为正整数，∴m＝1、2、3、4． 17．

第17题答图

18．(1)略． (2)过O作OC⊥AB于D，交⊙O于点C，连结OB．∵OC⊥AB，

?BD?11AB??16?8(cm)．由题意可知CD＝4cm．设半径为xcm， 22则OD＝(x－4)cm．在Rt△BOD中，由勾股定理得：

OD2＋BD2＝OB2，∴(x－4)2＋82＝x2， ∴x＝10，

即这个圆形截面的半径为10cm．

第18题答图

19．解：还有两对全等三角形，分别为：△AA'E≌△C 'CF，△A'DF≌△CBE．

选择证明：△AA'E≌△C 'CF．证明如下：由平移的性质可知：AA'＝CC '， 又∵∠A＝∠C '，∠A A'E＝∠C 'CF＝90°，∴△AA'E≌△C 'CF． 选择证明：△A'DF≌△CBE．

证明如下：由平移的性质可知，A'E∥CF，A'F∥CE, A'D＝CB， ∴四边形A'ECF是平行四边形．

∴A'F＝CE，A'E＝CF．∵A'B＝CD，∴DF＝BE． 又∵A'D＝CB，∴△A'DF≌△CBE． 20．解：(1)∵点A(1，3)在反比例函数y?

k

图象上， x

k3?3?，即k＝3．∴反比例函数解析式为y?．

1k3又∵点B(n，－1)在反比例函数y?图象上，

x3∴?1?，即n＝－3．∴B(－3，－1)．

n又∵点A(1，3)和B(－3，－1)在一次函数y＝mx＋b图象上，

?3?m?b,?m?1,解得?∴一次函数解析式为y＝x＋2． ????1??3m?b.?b?2,(2)由交点为A(1，3)和B(－3，－1)可知：

当x＜－3，或0＜x＜1时，反比例函数的值大于一次函数的值． 21．解：(1)240＋60＝300(人)，240×2.5％＝6(人)．

(2)参加合作医疗的百分率为

240?100%?80%， 300估计该乡参加合作医疗的村民有10000×80％＝8000(人)． 设年增长率为x，由题意知8000×(1＋x)2＝9680，

解得x1＝0.1＝10％，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，故年增长率为10％． 22．解：(1)∵S梯形ABCD?11(BC?AD)?3?(BC?4)?3?9， 22∴BC＝2，∴点C的坐标为(4，－3)．

(2)猜想：DF⊥AB．

证明如下：连结BE并延长交x轴于点H．

∵B、E坐标分别为(2，－3)、(2，－1)，∴BH⊥x轴，H(2，0)．

∴AH＝HE＝1，∠DHE＝∠BHA， DH＝BH＝3，

∴△DHE≌△BHA， ∴∠HDE＝∠HBA．

又∵∠HBA＋∠HAB＝90°，

∴∠HDE＋∠HAB＝90°，∴DF⊥AB．

(3)如图，梯形ABCD绕点A旋转180°后成梯形AB?C?D?．

第22题答图

23．解：(1)如图①，由题易知菱形EFGH边长为25，可证菱形EFGH是正方形，进一步可得出△DGH≌△CFG．因此∠FCG＝90°，即点F在BC边上．同样可得CF＝2．

① ②

第23题答图

因此S?FCG?

1?4?2?4． 2(2)如图②，过点F作FM⊥CD交DC延长线于点M，连结GE．

可证△AHE≌△MFG，所以FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2， 因此S?FGC?1?(6?x)?2?6?x． 2(3)若S△FGC＝1，由(2)可知S△FGC＝6－x，得x＝5．此时， 在△DGH中，HG＝41．相反地，在△AHE中， AE＝37＞6，与题意不符．故不可能S△FGC＝1． 24．解：(1)当x＝0时，y＝6，∴C点坐标为(0，6)．

当y＝0时，x＋6＝0，∴x＝－6，∴A点坐标为(－6，0)． (2)∵抛物线y＝ax2＋bx(a＜0)经过A(－6，0)，O(0，0)，

∴对称轴x??b??3，∴b＝6a．① 2a

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