江苏省丹阳中学等三校2018届高三下学期期初联考数学(实验班)试卷(4)

22. 解：（1）过A作AH?BD，垂足为H，过H作HI?BD，HI与BC交于I. 由平面ABD⊥平面BCD，平面ABD?平面BCD?BD，

AH?平面ABD，AH?BD，所以AH?平面BCD..??????2分

以H为原点O，HB为x轴，HI为y轴，HA为z轴，建立空间直角坐标系H?xyz 因为AD?1， CD?6.

设AB?x?x?0?，则BD?x2?1.

xABCD?，即?ADBD16x?12 依题意△ABD～△BDC，所以.

解得x?2，故AB?2,BD?3,BC?BD2?CD2?3.

212 ,HD?,HB?333?ABD中，AB?2,AD?1,BD?3，AH?（H为BD三等分点）.??????4分 （1）易得D(?13,0,0)，B(23,0,0)，

?2??1?A?0,0,C?,6,0，??? ， ??33????????????????????12 AD?(?,0,?)，BC?(?3,6,则，设0)???AD?BC?，则

3311?， 312??3?6331所以异面直线AD,BC所成角的余弦值为..??????6分

3

（2）易得D(?????????AD?BCcos???????????AD?BC13,0,0)，B(23,0,0)，

??12?6?A?0,0,E,,0? ， ，??????3???232??????36??????36?DE?,,0DA?,0,所以?????22?，?3?. 3????易得平面BAD的法向量n?(0,1,0) 设平面ADE的法向量m?(x,y,z)

??????????m?DE?0,?由??????得????m?DA?0,???令x?3x?23x?36y?0,2

6z?0.36，得y??3,z??3, 所以m?(6,?3,?3). 所以cos?n,m??1??.

2|n|?|m|n?m由图可知二面角B?AD?E的平面角为锐角， 所以二面角B?AD?E的平面角为

?. 3（第二问也可以以D为原点建系）.??????10分

2?129)??2，不等式成立..??????1分 24k?1k ②假设当n?k(k?2,k?N*)时不等式成立，即k!?()(k?2,k?N*)，

2k?2k?1)，由归纳假设， 则当n?k?1时，欲证(k?1)!?(2k?1kk?2k?1)?() ， 只要证2(k?1)k?1?(k?2)k?1 只要证(k?1)(22k?2k?11k?1)?(1?) 只要证2?(k?1k?11k?111212)?1?Ck?C()?????1?1?2 由二项式定理可得(1??1k?1k?1k?1k?123. 证明：（1）①当n?2时，2!?2，(即n?k?1时，不等式也成立.

综上所述，由①②可得命题成立??????4分 （2）①当n?1时，不等式1!?(1?21)，显然成立.??????5分 6k?2k)(k?N*)， ②假设当n?k(k?N*)时不等式成立，即k!?(6则当n?k?1时， (k?1)!?(k?1)(k?2kk?2kk?3k?1)，下证：(k?1)()?()， 666 只要证(k?1)(k?2)k6?(k?3)k?1 只要证6?(k?3k?1k?21k?1k?2 )??(1?)?k?2k?1k?2k?11k?11(k?1)k12由二项式定理可得：(1?)?1?(k?1)???()????

k?2k?22k?21(k?1)k12?1?(k?1)???()，

k?22k?2故(1?1k?1k?2k?2k1k)???1??2??， k?2k?1k?12(k?2)k?12(k?2)1k15??， ?6，只要证：k?12(k?2)22注意到

只要证：

121??.显然成立. k?12(k?2)k?2即则当n?k?1时，不等式也成立.

综上所述，由①②可得命题成立??????10分

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