关于积分上限函数的性质和应用

关于积分上限函数的性质和应用

论文作者：

指导老师：

专 业：信息与计算科学 本科专科：本科 年 级：2011级 提交日期：2012年5月31 日

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目录

一、上限函数的定义与性质 ........................................................................................................... 5 二、 积分上限函数的应用 ............................................................................................................. 7

2.1 积分上限函数在单调性的应用 ....................................................................................... 7 2.2 证明方程根的应用 ........................................................................................................... 8 2.3 积分上限函数在证明不等式题中的应用 ..................................................................... 9 2.4 积分上限函数在证明恒等式题中的应用 ..................................................................... 10 2.5在求导中的应用 .............................................................................................................. 11 2.6在极值中的应用 .............................................................................................................. 12 2.7在求原函数中的应用 ...................................................................................................... 14 2.8求解函数方程 .................................................................................................................. 14 2.9证明积分中值定理 .......................................................................................................... 15 2.10上限函数在重积分上的应用 ........................................................................................ 16 2.11上限函数在函数关系中的应用 .................................................................................... 16 结束语 ............................................................................................................................................ 17 致谢 ................................................................................................................................................ 17 参考文献......................................................................................................................................... 17

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摘要：积分上限函数是积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的性质进行研

究，并用于解决一些微积分问题，还得到了比较好的结论。本文利用积分上限函数的性质讨论一些特殊函数的求导数、求极限、求单调性、求解函数方程、在函数关系上的应用、在连续性方面的应用、证明方程根的应用、在计算重积分上的应用、证明不等式、证明中值定理。

关键词：积分上限函数；性质；积分

一、上限函数的定义与性质

设函数（fx）在区间[a,b]连续，则（fx）在[a,b]上可积，对任意的x∈[a,b]，则

?xaf(t)dt存在，即这个积分是上限x的函数。由于积分与变元素采用的记号无关，这个积分也常记作

?

xaf(x)dx。将这个函数记作Φ(x)=

?xaf(t)dt。

定理1 、若函数f?x?在区间?a,b?连续，则积分上限函数

??x???f?t?dt

ax在?a,b?有连续的导数，且???x??f?x?， 即积分上限函数??x?是被积函数f?x?的一个原函数。

证明：设?x??a,b?，取?x，使?x?x??a,b?则有

??????x?x????x???x??xaf?t?dt??f?t?dt??axx??xxf?t?dt

已知函数f?x?在闭区间连续，则由积分中值定理，至少存在一点c,使

?f?t?dt=f?c?(b?a)

ab取c?x???x??a,b?，（0???1） 则??????x?x????x??f?x???x??x，或又由函数f?x?在?a,b?的连续性，有

???x?x????x??f?x???x?

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