高二数学竞赛综合练习(10)(2)

1此SM?面AMN．VS?AMN??SM?S?ANM，由SA?AB?2得：AM?SM?2，

3而AN?NM，?AMN为斜边长为2的直角三角形，面积最大在AN?MN?1时取到，此时，?BAC?arccos3． 38．设A?x1,y1?,B?x2,y2?y1?y2?ky22，由y?，所以，?8y?16?0?2，即ky88168因此?y1?y2?k?x1?x2??4?4k?4，即k2?k?2?0，, yy1?2?，

kkk?y?y2?因直线y?kx?2过?0,?2?和?2,1?，则k?0，于是k?2，再由y?2x?2，

2??y2?8x，解得A2?3, 2?23, B2?3, 2?23，所以AB?215．

779．[log3,1] 10．

73????

11．证 （1）记t?xy?yz?zx，由平均不等式 3xyz??3(xy)(yz)(zx)32?32?xy?yz?zx????．

3??322于是4?9xyz?xy?yz?zx?9t?3t， 所以?3t?2?3t?3t?2?0，

??而3t2?3t?2?0，所以3t?2?0，即t?24，从而xy?yz?zx?． 33 （2）又因为(x?y?z)2?3(xy?yz?zx)，

)?4 所以 (x?y?z， 故 x?y?z?2．

(p?1)k2?1(modp),所以, p|(n2n-1)

12证明:取n=(p-1)k,则由费尔马小定理知

2?(p?1)k?2(p?1)k?1(modp)?(p?1)k?1(modp)?k??1(modp).

(p?1)k(p?1)k?2?1(modp)

取k=pr-1(r∈N*),即n=(p-1)(pr-1),就有

即p|(n2n-1).

1?a?0在(1,??)上恒成立． 13解：（1）因f(x)在(1,??)上为减函数，故f?(x)?lnx?2(lnx)所以当x?(1,??)时，f?(x)max?0．

1?a??1又f?(x)?lnx?2lnx(lnx)??2?1?a??1?1lnxlnx2??a， ??142故当1?1，即x?e2时，f?(x)max?1?a．

4lnx2所以1?a?0,于是a≥1，故a的最小值为1．

444（2）命题“若?x1,x2?[e,e2],使f(x1)?f??x2??a成立”等价于 “当x?[e,e2]时，有f(x)min?f??x?max?a”．

由（1），当x?[e,e2]时，f?(x)max?1?a，?f??x?max?a?1．

44问题等价于：“当x?[e,e2]时，有f(x)min?1”．

4，f(x)在[e,e2]上为减函数， 10当a?1时，由（1）

42则f(x)min=f(e2)?e?ae2?1，故a?1?12．

24e242当a?1时，由于f?(x)??1?14lnx20??a在[e,e]上为增函数， ??1422故f?(x)的值域为[f?(e),f?(e2)]，即[?a,1?a]．

4(i)若?a?0，即a?0，f?(x)?0在[e,e2]恒成立，故f(x)在[e,e2]上为增函数， 于是，f(x)min=f(e)?e?ae?e>1，不合．

4(ii)若?a?0，即0?a?1，由f?(x)的单调性和值域知，

4?唯一x0?(e,e2)，使f?(x0)?0，且满足：

当x?(e,x0)时，f?(x)?0，f(x)为减函数；当x?(x0,e2)时，f?(x)?0，f(x)为增函数；

所以，f(x)min=f(x0)?x02?ax0?1，x0?(e,e)． lnx04所以，a?1?1?12?1?1?1?1，与0?a?1矛盾，不合．

4lnx04x0lne4e244 综上，得a?1?12．

24e14．解 （1）设集合

A??1,2,?,23?1?，且A满足（a），（b）．则1?A,7?A．由于

，故A?3． ?1,m,7??m?2,3,?,6?不满足（b）

又 ?1,2,3,7?,?1,2,4,7?,?1,2,5,7?,?1,2,6,7?,?1,3,4,7?,?1,3,5,7?,?1,3,6,7?,

，故A?4． ?1,4,5,7?,?1,4,6,7?,?1,5,6,7?都不满足 （b）

而集合?1,2,4,6,7?满足（a），（b），所以f(3)?5． （2）首先证明

f(n?1)?f(n)?2,n?3,4,?． ①

事实上，若A??1,2,?,2n?1?，满足（a），（b），且A的元素个数为f(n)． 令B?A??2n?1?2,2n?1?1?，由于2n?1?2?2n?1，故B?f(n)?2． 又2n?1?2?2(2n?1),2n?1?1?1?(2n?1?2)，所以，集合B??1,2,?,2n?1?1?，且B

满足（a），（b）．从而f(n?1)?B?f(n)?2．

其次证明： f(2n)?f(n)?n?1,n?3,4,?． ②

事实上，设A??1,2,?,2n?1?满足（a），（b），且A的元素个数为f(n)． 令B?A??2(2n?1),22(2n?1),?,2n(2n?1),22n?1?， 由于2(2n?1)?22(2n?1)???2n(2n?1)?22n?1， 所以B??1,2,?,22n?1?，且B?f(n)?n?1．而

2k?1(2n?1)?2k(2n?1)?2k(2n?1),k?0,1,?,n?1，

22n?1?2n(2n?1)?(2n?1)，

从而B满足（a），（b），于是f(2n)?B?f(n)?n?1．

由①，②得 f(2n?1)?f(n)?n?3． ③ 反复利用②，③可得

f(100)?f(50)?50?1?f(25)?25?1?51 ?f(12)?12?3?77?f(6)?6?1?92

?f(3)?3?1?99?108．

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