高二数学竞赛综合练习题（10）
班级 学号 姓名
一、填空题
1．在数列?an?中，a1?2，a2??1，且an?2?an?1?an，n?1,2,?．则
a2011＝ ．
2．设a，b，c是正整数，且成等比数列，b?a是一个完全平方数，
log6a?log6b?log6c?6，则a?b?c? ．
3．一列数a1,a2,a3,?满足对于任意正整数n，都有a1?a2???an?n3，则
111????? ． a2?1a3?1a100?114．设a??1，变量x满足x2?ax??x，且x2?a则a?_______． x的最小值为?，
25．正整数n?500，具有如下性质：从集合?1,2,?,500?中任取一个元素m，则m整除n的概率是
1，则n的最大值是 . 1006．集合{1,2,?,2011}的元素和为奇数的非空子集的个数为 . 7．一个直径AB?2的半圆，过A作这个圆所在平面的垂线，在垂线上取一点S，使AS?AB，C为半圆上一个动点，N,M分别为A在SC,SB上的射影．当三棱锥S?AMN的体积最大时，?BAC?_________．
8．直线y?kx?2交抛物线y2?8x于A,B两点，若AB中点的横坐标为2，则
AB? . ?3x,x?[0,1]?9.已知函数f(x)??93，当t?[0,1]时，f(f(t))?[0,1]，则实数t的取值范围
?x,x?(1,3]??22是 . 10.如图，在等腰三角形ABC中，已知AB?AC?1,A?120?,E,F分别是边AB,AC上的点，
且AE?mAB,AF?nAC,其中m,n?(0,1),若EF,BC的中点分别为M,N,且
A
E B M F
C
N
第10题图
m?4n?1,则MN的最小值是 .
二、解答题
11．正实数x,y,z满足9xyz?xy?yz?zx?4，求证：
（1）xy?yz?zx?
4； （2）x?y?z?2． 312.证明:对任给的奇素数p,总存在无穷多个正整数n使得p|(n2n-1).
f(x)?x?ax(x?0lnx13.已知函数且x≠1)．
（1）若函数f(x)在(1,??)上为减函数，求实数a的最小值；
2?x,x?[e,e]，使f(x1)≤f?(x2)?a成立，求实数a的取值范围． 12（2）若
14．给定整数n(?3)，记f(n)为集合?1,2,?,2n?1?的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值：
（a） 1?A,2n?1?A；
（b） A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求f(3)的值；
（2）求证：f(100)?108．
参考答案10
1.因为a1?2，a2??1，a3?3，a4?4，a5?1，a6?3，a7?2，a8?1，a9?1，
a10?0，a11?1，a12?1，a13?0，?．所以，自第8项起，每三个相邻的项周
期地取值1，1，0，故a2011=0．
2．由题意，b2?ac，log6abc?6，所以，abc?66，故b?62?36，ac?362．
于是，36－a是平方数，所以，a只可能为11，20，27，32，35，而a是362的约数，故a?27．进而，c?48．所以，a?b?c?111． 3．当n?2时，有
a1?a2???an?n3， a1?a2???an?1?(n?1)3，
2?3n?1两式相减，得 an?3n，
所以
11111??(?),n?2,?3 ,an?13n(n?1)3n?1n故
111???? a2?1a3?1a100?111111111?(1?)?(?)???(?) 323233991001133． ?(1?)?3100100a2a24．由a??1及x?ax??x得：0?x??(a?1)，设f(x)?x?ax?(x?)?．
2422a，即?2?a??1，则f(x)在x??(a?1)处取最小值213，因此f(?a?1)?a?1a?1??，a??．
22若?(a?1)??a2aa若?(a?1)??，即a??2，则f(x)在x??处取最小值?，因此
422a21． ???，a??2（舍去）42?k?1?pk5．由题设知，n恰有5个约数.设n的质因数分解是n?p1，则n的约数个
(k?1)(k?1)数为(?1?1)??，所以(?1?1)??＝5，故n具有p4的形式，而34?81,54?625?500，故n的最大值为81.
6．令f(x)=(1+x)(1+x2)(1+x3)…(1+x2011),问题中要求的答案为f(x)的展开式中，x的奇次项的系数和．故所求的答案为
1(f(1)－f(－1))=22010. 27．易知BC?面SAC，所以BC?AN，从而AN?面SBC，所以AN?SM，因
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库高二数学竞赛综合练习(10)在线全文阅读。
相关推荐：