1999—2014年全国硕士研究生入学统一考试—数学三(8)

2005年全国硕士研究生入学统一考试

（17）（本题满分9分） 计算二重积分

??xD2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.

（18）（本题满分9分） 求幂级数

?(2n?1?1)xn?1?12n在区间(?1,1)内的和函数S(x).

（19）（本题满分8分）

设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)?0,f?(x)?0,g?(x)?0.证明：对任何a?[0,1],有

?a0g(x)f?(x)dx??f(x)g?(x)dx?f(a)g(1).

01

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2005年全国硕士研究生入学统一考试

（20）（本题满分13分）

?x1?2x2?3x3?0,?已知齐次线性方程组（i） ?2x1?3x2?5x3?0,和（ii）

?x?x?ax?0,23?1值.

（21）（本题满分13分） 设D??x1?bx2?cx3?0,?同解，求(a,b,c)的?22x?bx?(c?1)x?0,23?1?AT?CTC?为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m?n矩阵. B???Em( I ) 计算PDP，其中P???o?A?1C??； En?（II）利用(I)的结果判断矩阵B?CTA?1C是否为正定矩阵，并证明你的结论.

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2005年全国硕士研究生入学统一考试

（22）（本题满分13分）

?1,0?x?1,0?y?2x,设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)???0,其他.

求：（I） (X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （II）

Z?2X?Y的概率密度fZ(z).

( III ) P{Y?12X?12}.

（23）（本题满分13分）

设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,?2)的简单随机样本，Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.

求：（I） Yi的方差DYi,i?1,2,?,n； （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

（III）若c(Y1?Yn)2是?2的无偏估计量，求常数c. 第 36 页

X为样本均值，记

2006年全国硕士研究生入学统一考试

2006年全国硕士研究生入学统一考试

数学（三）

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）lim??n?1??n???n???1?n?______.

（2）设函数f(x)在x?2的某邻域内可导,且f??x??ef?x?，f?2??1，则f????2??____. （3）设函数f(u)可微,且f??0??（4）设矩阵A??1,则z?f4x2?y2在点(1,2)处的全微分dz2???1,2??_____.

?21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B? . ?12??（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则Pmax?X,Y??1?_______. （6）设总体X的概率密度为f?x??差为S2，则ES2?____.

二、选择题：（7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选

项前的字母填在题后的括号内.）

（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则（ ）

(A)0?dy??y. (B)0??y?dy. (C)?y?dy?0. (D)dy??y?0. （8）设函数f?x?在x?0处连续，且limh?0??1?xe????x????,X1,X2,?,Xn为总体X的简单随机样本，其样本方2f?h2?h2?1，则（ ）

(A) f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在 (C) f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 （9）若级数

?an?1?n收敛，则级数（ ）

(A)

?n?1?an收敛 . （B）?(?1)an收敛. (C)

nn?1??anan?1收敛. (D)

n?1?an?an?1收敛. ?2n?1?（10）设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的通解

是（ ）

（A）C?y1(x)?y2(x)?. （B）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?. （C）C?y1(x)?y2(x)?. （D）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?

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2006年全国硕士研究生入学统一考试

（11）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）

(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.

（12）设?1,?2,?,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是（ ）

(A) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关. (C) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性相关. (D) 若?1,?2,?,?s线性无关，则A?1,A?2,?,A?s线性无关.

?110???（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列得C，记P?010，

???001???则（ ）

（A）C?P?1AP. （B）C?PAP?1. （C）C?PTAP. （D）C?PAPT.

2（14）设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，Y服从正态分布N(?2,?2且PX??1?1?PY??2?1)，

????则必有（ ）

(A) ?1??2 (B) ?1??2 (C) ?1??2 (D) ?1??2 三 、解答题：（15－23小题，共94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分7分）

设f?x,y??yy?,x?0,y?0,求 1?xyarctanxy???x?01?ysin?x(Ⅰ) g?x??limf?x,y?；(Ⅱ) limg?x?. ?

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