1999—2014年全国硕士研究生入学统一考试—数学三(7)

2004年全国硕士研究生入学统一考试

(17) (本题满分8分)

设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足?f(t)dt??g(t)dt，x ? [a , b)，?f(t)dt??g(t)dt.证明：

aaaaxxbb?abxf(x)dx??xg(x)dx.

ab

(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 ? 5P，其中价格P ? (0 , 20)，Q为需求量.

(I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0)； (II) 推导

dR?Q(1?Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时， dP降低价格反而使收益增加.

(19) (本题满分9分)

x4x6x8设级数????(???x???)的和函数为S(x). 求：

2?42?4?62?4?6?8(I) S(x)所满足的一阶微分方程；(II) S(x)的表达式.

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2004年全国硕士研究生入学统一考试

(20)(本题满分13分)

设α1?(1,2,0)T, α2?(1,α?2,?3α)T, α3?(?1,?b?2,α?2b)T, β?(1,3,?3)T, 试讨论当a,b为何值时,

(Ⅰ) β不能由α1,α2,α3线性表示;

(Ⅱ) β可由α1,α2,α3唯一地线性表示, 并求出表示式;

(Ⅲ) β可由α1,α2,α3线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式.

(21) (本题满分13分)

?1b?b????b1?b?设n阶矩阵A?? .

???????bb?1???(Ⅰ) 求A的特征值和特征向量;

(Ⅱ) 求可逆矩阵P, 使得P?1AP为对角矩阵.

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2004年全国硕士研究生入学统一考试

(22) (本题满分13分)

设A，B为两个随机事件,且P(A)?A发生，?1,111, P(B|A)?, P(A|B)?, 令X??

4Y???1,B发生，求 ?0，B不发生.(Ⅰ) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ) X与Y的相关系数 ρXY; (Ⅲ) Z?X2?Y2的概率分布.

(23) (本题满分13分)

??α?β 设随机变量X的分布函数为F(x,α,β)???1???,x?α，??x?0，?x?α，来自总体X的简单随机样本,

(Ⅰ) 当α?1时, 求未知参数β的矩估计量;

(Ⅱ) 当α?1时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当β?2时, 求未知参数α的最大似然估计量.

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32?0，A不发生， 其中参数α?0,β?1. 设X1,X2,?,Xn为 2005年全国硕士研究生入学统一考试

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学（三）

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

2x= . 2x??x?1（2）微分方程xy??y?0满足初始条件y(1)?2的特解为___ __.

（1）极限limxsin（3）设二元函数z?xex?y?(x?1)ln(1?y)，则dz(1,0)? .

（4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a?1，则a?______. （5）从数1，2，3，4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则P{Y?2}=______. （6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1

已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则a? ，b? .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）当a取下列哪个值时，函数f(x)?2x3?9x2?12x?a恰好有两个不同的零点. ( )

(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. （8）设

I1???cosx2?y2d?D,

I2???cos(x2?y2)d?D,

I3???cos(x2?y2)2d?D,其中

D?{(x,y)x2?y2?1}，则 ( )

(A)I3?I2?I1. （B）I1?I2?I3. (C)I2?I1?I3. (D)I3?I1?I2. （9）设an?0,n?1,2,?,若

???an?1?n发散，

?(?1)n?1?n?1an收敛，则下列结论正确的是( )

?(A)

?an?12n?1收敛，

?an?12n发散 . （B）

?an?12n收敛，

?an?1?2n?1发散.

(C)

?(an?1?2n?1?a2n)收敛. (D)

?(an?1?2n?1?a2n)收敛.

（10）设f(x)?xsinx?cosx,下列命题中正确的是( )

??f(0)是极大值，f()是极小值. （B）f(0)是极小值，f()是极大值.

22??（C）f(0)是极大值，f()也是极大值. (D) f(0)是极小值，f()也是极小值.

22(A)

（11）以下四个命题中，正确的是( )

(A) 若f?(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界.

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2005年全国硕士研究生入学统一考试

(B) 若f(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界. (C) 若f?(x)在(0,1)内有界，则f(x)在(0,1)内有界. (D) 若f(x)在(0,1)内有界，则f?(x)在(0,1)内有界.

（12）设矩阵A=(aij)3?3 满足A*?AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵. 若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为( )

(A)

13. (B) 3. (C) . (D)

333.

（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是( )

(A)?1?0. (B)?2?0. (C)?1?0. (D)?2?0.

（14） 设一批零件的长度服从正态分布N(?,?2)，其中?,?2均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x?20(cm)，样本标准差s?1(cm)，则?的置信度为0.90的置信区间是( )

1111t0.05(16),20?t0.05(16)). (B)(20?t0.1(16),20?t0.1(16)).

44441111(C)(20?t0.05(15),20?t0.05(15)).(D)(20?t0.1(15),20?t0.1(15)).

4444

(A)(20?三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分8分） 求lim(x?01?x1?).?xx 1?e

（16）（本题满分8分）

22yx2?g2?g设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)?f()?yf()，求x?y.xy?x2?y2

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