2010全国各地高考数学文科试题分类汇编函数与导数(2)

2010辽宁文

a?12ax2?a?1?2ax?解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+?)，f?(x)?. xx当a≥0时，f?(x)＞0，故f(x)在(0,+?)单调增加； 当a≤－1时，f?(x)＜0, 故f(x)在(0,+?)单调减少； 当－1＜a＜0时，令f?(x)＝0,解得x=?a?1.当x∈(0, 2a?a?1)时, f?(x)＞0； 2ax∈(?a?1，+?)时，f?(x)＜0, 故f(x)在（0, 2a?a?1a?1）单调增加，在（?，2a2a+?）单调减少.

(Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+?）单调减少. 所以f(x1)?f(x2)?4x1?x2等价于

f(x1)?f(x2)≥4x1－4x2, 即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则

g?(x)?a?1?2ax+4 x2ax2?4x?a?1＝.

x

?4x2?4x?1?(2x?1)2于是g?(x)≤＝≤0.

xx从而g(x)在（0，+?）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)，

即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+?) ，f(x1)?f(x2)?4x1?x2.

2010山东文21

（Ⅱ）因为 f(x)?lnx?ax?1?a?1， x1a?1ax2?x?1?a 所以 f'(x)??a?2?? x?(0,??)， 2xxx 令 g(x)?ax2?x?1?a,x?(0,??),

2010陕西文21 解 （1）f’(x)=

12xa(x>0), x,g’(x)=

由已知得 x=alnx，

12x=ae， 解德a=,x=e2, x22

2)=

?两条曲线交点的坐标为（e,e） 切线的斜率为k=f’(e

1?切线的方程为y-e=2e(x- e2).

1, 2e（2）由条件知

Ⅰ 当a.>0时，令h '(x)=0,解得x=4a2,

所以当0 < x< 4a2时 h '(x)<0，h(x)在（0，4a2）上递减；

当x>4a2时，h '(x)>0，h(x)在（0，4a2）上递增。

所以x>4a2是h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是

h(x)的最小值点。

所以Φ （a）=h(4a2)= 2a-aln4a2=2

Ⅱ当a ≤ 0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值Φ （a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o) （3）由（2）知Φ （a）=2a(1-ln2a)

则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2

当 00，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。 所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1

因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a）的最大值

所当a属于 (0, +∞)时，总有Φ（a） ≤ 1 2010天津文20

【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分12分.

3（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=x3?x2?1，f（2）=3；f’(x)=3x2?3x, f’(2)=6.

2所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.

（Ⅱ）解：f’(x)=3ax2?3x?3x(ax?1).令f’(x)=0，解得x=0或x=以下分两种情况讨论：

11（1） 若0?a?2，则?，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下

a21. a表： X f’(x) f(x) ?1?0? ??，2??0 0 极大值 ?1??0，? ?2?+ ? - ?

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