2009年普通高等学校夏季招生考试(全国Ⅰ卷)数学 文科(2)

所以M为侧棱SC的中点.

(2)由M(0,1,1),A(2,0,0),得AM的中点G(

211,,). 222又GB=(

231,,?),MS=(0,-1,1),AM=(?2,1,1). 222AM=0,MS·AM=0, GB·

所以GB⊥AM,MS⊥AM.

因此〈GB,MS〉等于二面角S-AM-B的平面角, cos〈GB,MS〉=GB?MS|GB||MS|??6. 3所以二面角S-AM-B的大小为arccos(?6). 320.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)(2009全国卷Ⅰ,文)甲、乙二人进行一次．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20．．围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局. (1)求再赛2局结束这次比赛的概率; (2)求甲获得这次比赛胜利的概率.

解:记Ai表示事件:第i局甲获胜,i=3,4,5. Bj表示事件:第j局乙获胜,j=3,4. (1)记A表示事件:再赛2局结束比赛 A=A3·A4+B3·B4.

由于各局比赛结果相互独立,故 P(A)=P(A3·A4+B3·B4)=P(A3·A4)+P(B3·B4) =P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4) =0.6×0.6+0.4×0.4 =0.52.

(2)记B表示事件:甲获得这次比赛的胜利.

因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,从而B=A3·A4+B3·A4·A5+A3·B4·A5. 由于各局比赛结果相互独立,故 P(B)=P(A3·A4)+P(B3·A4·A5)+P(A3·B4·A5)

=P(A3)P(A4)+P(B3)P(A4)P(A5)+P(A3)P(B4)P(A5) =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 =0.648.

21.(本小题满分12分)(注意:在．试．题．卷．上．作．答．无．效．)(2009全国卷Ⅰ,文21)已知函数

f(x)=x4-3x2+6.

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(1)讨论f(x)的单调性;

(2)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程.

解:(1)f′(x)=4x3-6x=4x·(x?66)(x?). 22当x∈(-∞,?66)和x∈(0,)时,f′(x)＜0; 22当x∈(?66,0)和x∈(,+∞)时,f′(x)＞0. 226666)和(0,)上是减函数,f(x)在区间(?,0)和(,+∞)上是2222因此,f(x)在区间(-∞,?增函数.

(2)设点P的坐标为(x0,f(x0)),

由l过原点知,l的方程为y=f′(x0)x. 因此f(x0)=x0f′(x0),

即x04-3x02+6-x0(4x03-6x0)=0, 整理得(x02+1)(x02-2)=0. 解得x0??2或x0?2.

因此切线l的方程为y??22x或y?22x.

22.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)(2009全国卷Ⅰ,文22)如图,已知抛物线．．．．．．．．．E:y2=x与圆M:(x-4)2+y2=r2(r＞0)相交于A、B、C、D四个点.

(1)求r的取值范围;

(2)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标. 解:(1)将y2=x代入(x-4)2+y2=r2, 并化简得x2-7x+16-r2=0.①

E与M有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x1、x2.

???(?7)2?4(16?r2)?0,?由此得?x1?x2?7?0,

?2?x1x2?16?r?0.解得

152

＜r＜16. 5北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

又r＞0,

所以r的取值范围是(

15,4). 2(2)不妨设E与M的四个交点的坐标为A(x1,x1)、B(x1,?x1)、C(x2,?则直线AC、BD的方程分别为

x2)、D(x2,x2).

y?x1??x2?x1x2?x1?(x?x1),

?(x?x1)?y?x1

=

x2?x1x2?x1解得点P的坐标为(x1x2,0). 设t?7x1x2,由t?16?r2及(1)知0＜t＜.

2由于四边形ABCD为等腰梯形,因而其面积

S?1?(2x1?2x2)?|x2?x1|, 2则S2=(x1?x2?2x1x2)·［(x1+x2)2-4x1x2］, 将x1+x2=7,x1x2?t代入上式,并令f(t)=S2,得 f(t)=(7+2t)2·(7-2t)=-8t3-28t2+98t+343(0＜t＜求导数,f′(t)=-24t2-56t+98=-2(2t+7)(6t-7). 令f′(t)=0,解得t?当0＜t＜当t?7). 277,t?(舍去). 627时,f′(t)＞0; 67时,f′(t)=0; 677当?t?时,f′(t)＜0. 627故当且仅当t?时,f(t)有最大值,

6即四边形ABCD的面积最大, 故所求的点P的坐标为(

7,0). 6北京天梯志鸿教育科技有限责任公司

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