2009年普通高等学校夏季招生考试(全国Ⅰ卷)数学 文科

2009年普通高等学校夏季招生考试（全国Ⅰ卷）

数学（文史类）

(必修+选修Ⅰ)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 参考公式：

如果事件A、B互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B)

如果事件A、B相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概念

kkPn(k)=Cnp(1?p)n?k(k=0,1,2,…,n)

球的表面积公式 S=4πR2

其中R表示球的半径 球的体积公式

V?43?R 3第Ⅰ卷

其中R表示球的半径

一、选择题

1.(2009全国卷Ⅰ,文1)sin585°的值为( ) A.?2233 B. C.? D. 2222答案:A

2.(2009全国卷Ⅰ,文2)设集合A=｛4,5,7,9｝,B=｛3,4,7,8,9｝,全集U=A∪B,则集合的元素共有( )

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 答案:A

3.(2009全国卷Ⅰ,文3)不等式|

(A∩B)中

x?1|＜1的解集为…( ) x?1A.{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B.{x|0＜x＜1} C.{x|-1＜x＜0} D.{x|x＜0} 答案:D

1,则tan(α+β)=( ) 37777A. B.? C. D.? 111311134.(2009全国卷Ⅰ,文4)已知tanα=4,cot??答案:B

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x2y25.(2009全国卷Ⅰ,文5)设双曲线2?2?1(a＞0,b＞0)的渐近线与抛物线y=x2+1相切,则该

ab双曲线的离心率等于( )

A.3 B.2 C.5 D.6 答案:C

6.(2009全国卷Ⅰ,文6)已知函数f(x)的反函数为g(x)=1+2lgx(x＞0),则f(1)+g(1)=( ) A.0 B.1 C.2 D.4

答案:C

7.(2009全国卷Ⅰ,文7)甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )

A.150种 B.180种 C.300种 D.345种 答案:D

8.(2009全国卷Ⅰ,文8)设非零向量a、b、c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=( ) A.150° B.120° C.60° D.30° 答案:B

9.(2009全国卷Ⅰ,文9)已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( ) A.

3357 B. C. D.

4444答案:D

10.(2009全国卷Ⅰ,文10)如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点(值为( ) A.

4?,0)中心对称,那么|φ|的最小3???? B. C. D. 6432答案:A

11.(2009全国卷Ⅰ,文11)已知二面角α-l-β为60°,动点P、Q分别在面α,β内,P到β的距离为

3,Q到α的距离为23,则P、Q两点之间距离的最小值为( )

A.2 B.2 C.23 D.4 答案:C

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x2?y2?1的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF12.(2009全国卷Ⅰ,文12)已知椭圆C:2交C于点B.若FA?3FB,则|AF|=( )

A.2 B.2 C.3 D.3 答案:A

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.(注意:在试题卷上作．．．．．．答无效) ．．．

13.(2009全国卷Ⅰ,文13)(x-y)10的展开式中,x7y3的系数与x3y7的系数之和等于__________. 答案:-240

14.(2009全国卷Ⅰ,文14)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S9=72,则a2+a4+a9=__________. 答案:24

15.(2009全国卷Ⅰ,文15)已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M,若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于____________. 答案:16π

16.(2009全国卷Ⅰ,文16)若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为

22,则m的倾斜角可以是____________.

①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°

其中正确答案的序号是___________.(写出所有正确答案的序号) 答案:①⑤

三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)(2009全国卷Ⅰ,文17)设等差数列{an}的前n．．．．．．．．项和为Sn,公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn, 已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求{an},{bn}的通项公式. 解:设{an}的公差为d,{bn}的公比为q. 由a3+b3=17得1+2d+3q2=17, ① 由T3-S3=12得q2+q-d=4. ② 由①②及q＞0解得q=2,d=2.

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故所求的通项公式为an=2n-1,bn=3×2n-1.

18.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)(2009全国卷Ⅰ,文18)在△ABC中,内角A、．．．．．．．．．B、C的对边长分别为a、b、c.已知a2-c2=2b,且sinB=4cosAsinC,求b. 解:由余弦定理得a2-c2=b2-2bccosA. 又a2-c2=2b,b≠0, 所以b=2ccosA+2.①

bsinB?, csinCsinB?4cosA, 又由已知得

sinC由正弦定理得

所以b=4ccosA.② 故由①②解得b=4.

19.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)(2009全国卷Ⅰ,文19) ．．．．．．．．．如图,四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,AD?侧棱SC上,∠ABM=60°.

2,DC=SD=2,点M在

(1)证明:M是侧棱SC的中点; (2)求二面角S-AM-B的大小. 解法一:

(1)作ME∥CD交SD于点E,则ME∥AB,ME⊥平面SAD.

连接AE,则四边形ABME为直角梯形. 作MF⊥AB,垂足为F,则AFME为矩形. 设ME=x,则SE=x,

AE?ED2?AD2?(2?x)2?2,

2MF=AE=(2?x)?2,FB=2-x.

由MF=FB·tan60°,得

(2?x)2?2?3(2?x),

解得x=1,

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即ME=1,从而ME?1DC. 2所以M为侧棱SC的中点. (2)MB?BC2?MC2?2,

又∠ABM=60°,AB=2,

所以△ABM为等边三角形. 又由(1)知M为SC中点,

SM?2,SA?6,AM=2,

故SA2=SM2+AM2,∠SMA=90°.

取AM中点G,连结BG,取SA中点H,连结GH,则BG⊥AM,GH⊥AM. 由此知∠BGH为二面角S-AM-B的平面角. 连接BH.在△BGH中,

BG?312,BH?AM?3,GH?SM?222AB2?AH2?22, 2BG2?GH2?BH26所以cos?BGH?. ??2?BG?GH3∴二面角S-AM-B的大小为arccos(?6). 3解法二:以D为坐标原点,射线DA为x轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系D—xyz. 设A(2,0,0),则B(2,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).

(1)设SM??MC(λ＞0),则 M(0,

2?22?2,,),MB=(2,). 1??1??1??1??又AB=(0,2,0),〈MB,AB〉=60°, 故MB·, AB=|MB||AB|cos60°

即

422?22?(2)2?()?(). 1??1??1??解得λ=1,即SM?MC.

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