惠州市2011届高三模拟考试(2)

∵V?(x)?12x2?552x?4320，

由V?(x)?12x2?552x?4320?0?x?46x?360?0解得x1?10，x2?36（舍去）．

2，

( 第9题图 )

∵当0?x?10时，V?(x)?0，当10?x?24时，V?(x)?0，∴当x?10时，V(x)在区间

?0,24?内有唯一极值，且取极大值．∴容器高x?10cm时，容器容积V(x)最大。故选C

10．【解析】

?x使得?x?a???x?a??1??x?a??1?x?a??1,即?x使得

x2?x?a2?a?1?0成立,???1?4??a2?a?1??0?4a2?4a?3?0，

解得：a?31或a??,故选A 22二.填空题（本大题每小题5分，共20分，把答案填在题后的横线上） 11. 0； 12. 12?； 13. 405； 14. ?cos??3； 15. 27。

11．【解析】因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=30-2?0+c=0,解得c=-1,所以

1x当x?0时, f(x)?3?2x?1,即f(-1)= - f(1) =?3?2?1?1=0.

??12．【解析】由三视图可知，该几何体的直观图是圆台，

其圆台的侧面积是：S圆台侧???r1?r2?l???1?2??4?12?。

?a2?a1?d?6?a?313．【解析】由?, ??1a?a?4d?15?d?31?5（第12题图）

?an?3?3(n?1)?3n,bn?a3n?9n, 数列?bn?的前9项和为S9?14．【解析】设直线l与极轴垂直且相交于点C，极点为O，

则OC?3,?l的极坐标方程为?cos??3

215.【解析】设CM?MN?ND?x,由CA?CM?CN

222得x?2.由勾股定理AC?AD?CD解得:AD?27cm.

9?81?9?405. 2AOBDNMC(第15题图)

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三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本题满分12分） 解：（1） f(x)?sinx?cosx?2sin(x?) ????????2分

4??3?(k?Z)时，?????4分 当x??2k??(k?Z)，即x?2k??424?f(x)有最大值为2??????????????????????6分

（2）法一：f(?)?∵??(?1?22sin(??)? ?sin(??)? ???7分

45410????,)∴???(0,)

4244??72 ???????????9分 ?cos(??)?1?sin2(??)?4410?sin??sin[(??)?]?sin(??)cos?cos(??)sin

444444 ? 法二：f(?)???????227224???? ?????????????12分 10210252sin(??)?sin??cos? ???????? 7分

4?1??sin??cos??由?5 ???????????????????9分

?sin2??cos2??1?4?3?sin??sin??????5?5得?或??????????????????11分

34?cos???cos????5?5??∵??(??4,) ∴sin???????????????????12分 425 同意 不同意 5 17．（本题满分12分） 解：（1）

合计 9 6 男生

女生 教师 4 2 1

4 0 1 ??3分

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720?15480?15?9人，女生抽：?6人，教师抽：16?9?6?1人。

120012006?480人 （2）高三年级学生“同意”的人数约为1200?156?480人）????????????????????????6分 （或1280?16男生抽：

（3）记被调查的6名女生中“同意”的2人为A,B，“不同意”的4人为a,b,c,d。

则从被调查的6名女生中选取2人进行访谈共AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd

ab,ac,ad,bc,bd,cd.有15种结果。???????????????????9分

记C={选到的两名女生中恰有一人“同意”一人“不同意”} 则C包含Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd共8种结果。 ∴P(C)?8 ????????????????????????????12分 1518. （本题满分14分） 解：（1）O,D分别为AB,PB的中点，?OD//PA ?????????2分

又PA?平面PAC，OD?平面PAC

?OD//平面PAC ?????????????4分

（2）连结OC,OP

AC?CB?2， AB?2,??ACB?90

P又O为AB的中点，?OC?AB,OC?1， 同理, ?PO?AB,PO?1 ????6分 又PC?2,?PC?OC?PO?2,

222DAO(第18题图）BC??POC?90 ?PO?OC, ?????8分

又 PO?AB,ABOC?O,

?PO?平面ABC. PO?平面PAB

?平面PAB⊥平面ABC ????10分

(3) 由（2）可知PO垂直平面ABC

?PO为三棱锥P?ABC的高，且PO?1。 ?????????11分

三棱锥A?PBC的体积为：

11?11?VA?PBC?VP?ABC?S?ABC?PO????2?1??1? ???????14分

33?23?数学试题（文科） 第 8 页 共 12 页

19．（本题满分14分）

x2y2解：（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)，焦距为2c。

ab因为e?2c22,所以?,据题意,点(c,)在椭圆上， 2a221112c2则2?2 于是?2?1，解得b?1 ?????????2分 ?1,22bab因为a?2c,a2?c2?b2?1,则c?1,a?2 ?????????3分

x2?y2?1???????????????????4分 故椭圆的方程为2（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y?kx?m,点P(x1,y1),Q(x2,y2)

?x2??y2?1由?2,得(2k2?1)x2?4kmx?2m2?2?0 ?????????6分 ?y?kx?m?4km2m2?2,x1x2?所以x1?x2?? ???????????????8分 222k?12k?1于是y1y2?(kx1?m)(kx2?m)?kx1x2?km(x1?x2)?m

222m2?2?4kmm2?2k22?km?2?m?=k? 22k?12k?12k2?122m2?2m2?2k23m2?2k2?2???0?10分 因为OP?OQ,所以x1x2?y1y2?2222k?12k?12k?12k2?2即3m?2k?2?0,所以m? ?????????????11分

3222设原点O到直线l的距离为d，则d?|m|k?12?m2?k2?12k2?263?12分 ?3k2?1当直线l的斜率不存在时，因为OP?OQ,根据椭圆的对称性，不妨设直线OP,OQ

数学试题（文科） 第 9 页 共 12 页

的方程分别为y?x,y??x,可得P(666666,),Q(,?)或P(?,?) 333333Q(?666,)此时，原点O到直线l的距离仍为. 3336. ???????????????14分 3综上，点O到直线l的距离为定值20．（本题满分14分）

解：(1)∵f?(x)?e，记切点为T(t,e)，∴切线l的方程为y?e?e(x?t)

即y?ex?e(1?t) ????????????????3分

ttxttt?k?et (2)由(1)? t?b?e(1?t)xtt记函数F(x)?f(x)?kx?b,∴F(x)?e?ex?e(1?t)

xt∴F?(x)?e?e

∴F(x)在x?(??,t)上单调递减，在x?(t,??)为单调递增 ????????6分 故F(x)min?F(t)?et?ett?et(1?t)?0

故F(x)?f(x)?kx?b…0即f(x)…kx?b对任意x?R成立 ??????8分 (3)设H(x)?f(x)?kx?b?e?kx?b，x?[0,??)

∴H?(x)?e?k，x?[0,??) ???????10分 ①当k?1时，H?(x)…0，则H(x)在x?[0,??)上单调递增 ∴H(x)min?H(0)?1?b…0，

xx?k?1∴b?1，即? 符合题意。 ???????????????????12分

b?1?②当k?1时，H(x)在x?[0,lnk)上单调递减，x?[lnk,??)上单调递增 ∴H(x)min?H(lnk)?k?klnk?b…0∴b?k(1?lnk)

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