数学分析专题选讲教案(3.1)

楚雄师范学院数学系课程教案--数学分析专题选讲教案3-1--教案7

(数学分析专题选讲,周学时三节,单四双二) 周 第5周 (2009.3.23-2009.3.29) 次 课 第三专题 微分中值定理中的若干基本方法 §3.1微分中值定理的应用 题 2学时 学 时 一.Rolle中值定理的应用 教学 内容（主要） 1.深刻理解Rolle中值定理 教 2.能熟练应用Rolle中值定理证明和解决问题. 学 目 标 1.应用Rolle中值定理证明和解决问题的技能技巧 教学 重点 1.应用Rolle中值定理证明和解决问题的技能技巧 教学 难点 教学方法与手段 1.分析教学方法、对比教学方法、探索式的教学方法、讨论教学方法、综合教学方法 2.借助多媒体辅助教学 第三专题 微分中值定理中的若干基本方法 §3.1 微分中值定理的应用 一.Rolle中值定理的应用 定理1(Rolle中值定理).设f?x?满足条件: (1).在?a,b?连续; (2).在(a,b)可导;(3).f?a?? y 教 学 进 程 (教学设计) f?b?, 则至少存在???a,b?,使得f?????0,即方程f??x??0在?a,b?至少有一根. o a ?1 ?2 ?3 b x 图 3.1.1

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例1.不求f?x???x?a1??x?a2??x?a3?????x?an?的导数,讨论f??x??0根的 范围?a1?a2?a3?????an?. 解:因f?x?满足条件: (1).在?ak,ak?1?连续;(2).在?ak,ak?1?可导;(3).f?ak??f?ak?1?, 故由Rolle中值定理,f?(x)?0在?ak,ak?1?至少有一根?k?1,2,...,n?1?. 又f??x??0至多有n?1个根,且?a1,a2?,?a2,a3?,???,?an?1,an?互不相交,故f??x? ?0在?a1,a2?,?a2,a3?,???,?an?1,an?内各有一根. 0 f???n?1??0 f???1??0 f???k?? a1 ?1 a2 ak ?k ak?1 an?1 ?n?1 an 图 3.1.2 例2.设a1,a2,???,an?R，且a1?a23?a35?????an2n?1?0,证明:方程 a1sinx?a2sin3x?????ansin?2n?1?x?0 在?0,?????至少有一根. 2?证明:令 f?x??a1cosx?a23cos3x?????an2n?1cos?2n?1?x, 则f?x?满足条件: (1).在?0,????连续;(2).在?0,?可导;(3).f?0??f??. ?2?2??2??????????故由Rolle中值定理,方程f??x??0在?0,???至少有一根,即 2?a1sinx?a2sin3x?????ansin?2n?1?x?0, 在?0,?????至少有一根. 2? 例3.设f?x?在?a,b?存在n?1阶导数,xk??a,b??k?1,2,...,n?1?,且xi?xj ?n??i,j?1,2,...,n?,f?x1??f?x2??...?f?xn?1?,证明:至少存在???a,b?,使得f??? ?0. 证明:不妨设x1?x2?x3?????xn?1,则f?x?满足条件: (1).在?xk,xk?1?连续;(2).在?xk,xk?1?可导;(3).f?xk??f?xk?1?, 故由Rolle中值定理,至少存在?k??xk?1,xk?,使得f???k??0?k?1,2,...,n?. f???1??0 f???k

??0 f???n?1??0 52

x1 ?1 x2 xk ?k xk?1 xn?1 ?n?1 xn 图 3.1.3 又f??x?满足条件: (1).在??k,?k?1?连续;(2).在??k,?k?1?可导;(3).f???k??f???k?1?, 故由Rolle中值定理,至少存在?k???k?1,?k?,使得f????k??0?k?1,2,...,n?2?. f????1??0 f????2??0 f????n?2??0 ?1 ?1 ?2 ?k ?k ?k?1 ?n?2 ?n?2 ?n?1 图 3.1.4 …………………………………………………………………………………… 又因f?n?1??x?满足条件: ?n?1?(1).在??1,?2?连续;(2).在??1,?2?可导;(3).f f ?n???1???n?f?n?1???2?, 故由Rolle中值定理,至少存在????1,?2???a,b?,使得f????0. ????0 ?1 ? ?2 图 3.1.5 例4.设f?x?在?a,b?非负或非正、存在n?1阶导数,且在?a,b?内存在n个互异实根, 证明:至少存在???a,b?,使得f?n?????0. 证明:设f?x?在?a,b?存在的n个互异实根为xk?k?1,2,...,n?,且 x1?x2?x3?????xn, 则f?x1??0,f?x2??0,...,f?xn??0.由于f?x?在?a,b?非负或非正,故 f?x1?,f?x2?,...,f?xn? 是f?x?在?a,b?的极小值或极大值,于是f??x1??f??x2??...?f??xn??0. 令F?x??f??x?,x??a,b?,则F?x?在?a,b?存在n阶导数,且 F?x1??F?x2??...?F?xn?, 故由例3,至少存在???a,b?,使得F?0. ?n?1?????0,即至少存在???a,b?使得, f?n???? 例5.设f(x)在?0,a?存在n阶导数,且f?a??0,证明:至少存在???0,a?,使 F

?n?????0,其中F?x??xfn?x?. 53

证明:因F?x?满足条件: (1).在?0,a?连续;(2).在?0,a?内可导;(3).F?0??F?a?, 故由Rolle中值定理,至少存在?1??0,a?,使得F?(?1)?0. 又因F??x??nxn?1f?x??xnf??x?,故F??x?满足条件: (1).在?0,?1?上连续;(2).在?0,?1?内可导;(3).F??0??F???1?, 故由Rolle中值定理,至少存在?2??0,?1?,使得F????2??0. ………………………………………………………………………………………………… 再因F?n?2?n?2(x)??k?0Cn?2?xkn??k?f?n?k??x?,故F?n?1??x?满足条件: (1).在?0,?n?2?连续;(2).在?0,?n?2?可导;(3).F??0??F???n?2? 故由Rolle中值定理,至少存在?n?1??0,?n?2?,使得F 而F?n?1?n?1?n?1???n?1??0. ?x???k?0Cn?1?xkn??k?f?n?k??x?,故F?n?1??x?满足条件: ?0??F?n?1?(1).在?0,?n?1?连续;(2).在?0,?n?1?可导;(3).F故由Rolle中值定理,至少存在?n??0,?n?1?,使得F F?n??n?1???n?1?, ?n???n??0. ??n??0 F?????3??0 F???1??0 F????2??0 例6.设f?x?在?a,b?存在n阶导数,ak??a,b??k?1,2,...,n?,且ai?aj 0 ?n……… ?3 ?2 ?1 a 图 3.1.6 ?i,j?1,2,...,n?,f?a1??f?a2??...?f?n?1?f?an??0,证明:?x??a,b??x?a1,a2,...,an?, 至少存在???a,b?,使得 f?x?????n!?x?a1??x?a2?...?x?an?. 证明:不妨设a1?a2?a3?????an,令 F?t??f?t??f?x???x?a1??x?a2?...?x?an?t?a1??t?a2?...?t?an?, 则F?t?在?a,b?内存在n阶导数,且当x?ak?k?1,2,...,n? F?a1??F?a2??...?F?an??F?x??0. 故由例3,至少存在???a,b?,使得F F?n??n?????0.而 ?x???n!, ?t??f?n??t??f?x?a1??x?a2?...?x?an54

于是至少存在???a,b?,使得 f?x?? 例7.设f?x?,g?x?在?a,b?连续,在?a,b?可导,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,若 ff?n????n!?x?a1??x?a2?...?x?an?. ?x?在?a,b?有两个零点,证明:在这两个零点间,f?x?至少有一个零点. 证明:设f?x1??0，f?x2??0，x1，x2??a,b?，则由条件 f??x?g?x??f?x?g??x??f0 知g?x1??0,g?x2??0. 若g?x?在?x1,x2?内均不等于0，则h?x??故存在???x1,x2?使h?????0，即f???f????x?f??g?x?在?x1,x2?满足Rolle中值定理条件,?g????g2?g????????0,于是 ?g????f???g?????0. 此与f??x?g?x??f?x?g??x??0?x??a,b??矛盾.因此,g?x?在?x1,x2?内至少有一个 零点. 例8.设f?x?,g?x?在R可导,证明:在g?x?任何两个零点之间,方程 g??x??g?x??4xf?x??2xf??x???0 22xf2至少存在一根. 证明:设x1,x2?x1?x2?为g?x?两个零点,令F?x??g?x?e于是由Rolle中值定理,至少存在???x1,x2?,使得F?????0. 而F??x??g??x?e?e2xf2?x?,则F?x?满足条件: (1).在?x1,x2?连续;(2).在?x1,x2?可导;(3).F?x1??F?x2?, 22xf?x??g?x?e2xf2?x???4xf?x??22xf??x?? 2?x??g??x??g?x??4xf?x??2xf??x??, ?故 g?????g????4?f????2?2f??????0. 即方程 g??x??g?x??4xf?x??2xf??x???0 2在?x1,x2?内至少存在一根. 例9.设f?x?在?a,b?连续,在?a,b?可导,xk??a,b??k?1,2,...,n?,且xi?xj ?i,j?1,2,...,n?,f?x1??f?x2??...?f?xn??nf?b?,证明:至少存在???a,b?,使得 f?????0. 证明:因f?x?在?a,b?连续,故由最值性定理,f?x?在?a,b?存在最大值和最小值. 令 M?maxF?x?,m?minF?x?, ?a,b??a,b?则

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