《九章算术》与《几何原本》的比较(3)

第四章“少广”，例题24个，立术16条，专讲开平方、开立方问题。“少”是多少，“广”宽广。“少广”是由已知面（体）积，求其一边的宽广是多少的问题。本章给出了“开方术”、“开圆术”、“开立方术”和“开立圆术”这四种重要算法。

第五章“商功”，例题28个，立术24条，专讲各种土木工程中所提出的各类几何体体积的求解。“商”是商量或度量，“功”是工程。

第六章“均输”，例题28个，立术28条，主要讲处理行程和合理解决征税的问题。

第七章“盈不足”，例题20个，立术17条，主要讲运用“盈不足术”解应用问题，涉及的内容多与商业有关。

第八章“方程”，例题18个，立术19条，专讲线性方程组的解法。“方”就是把一个算题用算筹列成方阵的形式，“程”是度量总名，程式之意。另外本章还提出了正负数的不同表示法和加减运算法则。

第九章“勾股”，例题24个，立术19条，主要研究勾股定理及其应用。本章继承和发展了商高提出的勾股定理，并且开创了直角三角形相似法和出入相补原理。

(二) 《九章算术》的特点

1. 开放的归纳体系

从《九章算术》的内容可以看出，书中所涉及的都是当时社会生产和生活方面需要解决的数学问题。如，田亩测量、工程建设、交通运输、税收商业等，几乎包括了当时社会生产和生活的各个领域。因此它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。这与《几何原本》追求逻辑的完美形成了鲜明的对照。

《九章算术》的表述体系有两个特点：一是先举出某一社会生活领域中一个或几个问题，由此归纳出解决这一类问题的一般方法一一\术\；再把该领域内多类\术\归总成章，得出解决该领域内各类问题的方法。方田、商功、均输、粟米、衰分等章都是这样的表述方法。二是按解决某类问题所需要的数学方法进行归纳，找出许多不同领域的问题都可应用的相同计算方法，从中得出普遍的数学模型归纳成章。例如盈不足、方程、勾股、少广等章为这类表述方

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法。无论哪一种表述方法，从知识体系的逻辑性角度看，采用的都是从个别到一般的归纳法体系。

因此，综观全书，《九章算术》是一个开放的归纳体系。

2. 算法化的内容

《九章算术》全书246个问题，均属计算问题，并以计算法则一一\术\来构建全书。即使几何问题，讨论的也是求积等方面的内容，不专门论述或求证几何图形间或图形的各元素间的关系，所以它是一本以算法为中心的经典的数学名著，这与古希腊注重逻辑理论体系的数学名著《几何原本》完全不同。

3. 模型化的方法

从数学方法论的角度看，《九章算术》普遍使用了数学模型方法。各章都是先从相应的社会实践中选择具有典型意义的现实原型，并把它们表述成问题，然后通过“术”使其转化成数学模型。当然有的章采取的是由数学模型到原型的过程，即先给出数学模型，然后再举出可以应用的原型，例如，“勾股”、“方程”等章，其标题就是数学模型的名称。这种算法化的理论体系主要是由它的实用性为目的的指导思想所决定的。

(三) 《九章算术》的意义

1. 《九章算术》的影响巨大而深远

《九章算术》从问世起，人们便由它来学习数学。到隋唐时期开始建立国立学校，其中有算学科，该书被列为重要的教科书。在民间此书也广泛流传，所以，古代研究数学的人大都是从《九章算术》开始，有些人正是通过对它的研究取得重要成就，成为历史上杰出的数学家，其中最著名的有刘徽、祖冲之父子、贾宪等。也就是说，《九章算术》不但在普及数学知识方面起过巨大作用，而且还在培养和造就数学家方面起到了促进作用。《九章算术》在我国的影响还表现在著作体例方面。《九章算术》以后的许多数学著作都按其格式编写，注重实用，不注意逻辑结构，采用“问题一答案一算法”的体例。甚至一些著作的书名都沿用“九章”两字，如《数书九章》、《详解九章算法》等。

2. 《九章算术》中的数学成就是多方面的

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它是世界上最早系统叙述分数运算的著作；关于负数的论述也是世界上最早的。印度发现负数的记录最早见于7世纪。表示负数的梵文，与汉人的“负”字相同，这证明我国负数概念对印度数学是有影响的。至于西欧，直到17世纪才认识负数。当《九章算术》中的各种比例算法传到欧洲时，引起了欧洲人的极大兴趣，他们称之为“黄金算法”，认为它是各种算法中最宝贵的算法。我国古代叫这种算法为“今有术”，它早于印度数学书籍所载的“三率法”。《九章算术》用“盈不足术”来解决算术中的难题。这种算法约在9世纪传入阿拉伯，13世纪转传入欧洲后，得到广泛的运用和发展。阿拉伯人把盈不足术叫做“契丹算法”，从这个名称演变出“震旦”（中国）一词，可见它确系由我国传播出去的。

3. 《九章算术》对中国周边国家数学及社会的发展也有一定的作用

在隋唐时期《九章算术》就已传入朝鲜、日本。对日本、朝鲜等东方诸国的数学发展有过很大作用。人们现在越来越认识到《九章算术》不仅对我国古代数学影响极大，而且对世界数学的发展也起着重要的作用，因而引起各国学者、专家的重视，前苏联、日本、德国、英国等国都有《九章算术》译本。

4. 《九章算术》的思想方法不仅对古代数学的发展产生了重大影响，而且也是现代数学思想发展的源泉

在现代数学的发展过程中，一再重现这种思想。如在17世纪微积分产生初期，就不是靠理论的严格，而是靠实际应用的成功来保证其“可靠性”的。现代应用数学是按应用方向或主要应用的数学模型来分类的。现代数学是一个开放的系统，成为各门科学的方法或工具。随着电子计算机的蓬勃兴起，更进一步肯定了以发展算法和计算技术为中心的中国传统数学的长处。中国科学院院士、著名数学家吴义俊教授在几何定理的机器证明领域所取得的成就，正是以《九章算术》为代表的中国传统数学特色在现代条件下的发扬光大。

三.《九章算术》与《几何原本》的比较

（一） 形成《九章算术》与《几何原本》迥异的背景

我同在春秋战围时期，出现了诸子蜂起、学派纷呈、百家争鸣的局面。儒、

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法、名、墨等各家在政治、学术上都提出了自己的主张。其中，在形式逻辑方面，名家和墨家对其有一定的研究，而墨家尤为突出。然而，墨家之后的约六、七百年时间，形式逻辑在我国几乎没有发展，冈而也就没有形成完整的逻辑体系，恰在这个时期，《九章算术》问世r，这就注定了《九章算术》的非逻辑结构的特点。当然，这部书中并非一点形式逻辑都没有，“术”就是一个例证，是通过经验总结或简单推理而来，但没有《几何原本》式的逻辑证明。事实上，古代的中国是“自给自足”的小农国家，具有天然的保守性，不善与外界交流，比较闭塞。中国的古代数学完全是由自己在没有与外界交流的情况下发展起来的，这样的数学必然是与生活实际紧密联系的。中国传统文化注重“经世致用”，思维方式的重要特征就是“重实际而黜玄想”。受这种文化传统影响，《九章算术》自然注重数学知识的应用，以实际为研究对象并以服务于实际为目的。数学结论是在实践中通过观察、实验，而后分析、归纳的结果，这就很难超越直观经验和具体运算而《几何原本》成书时的古希腊与《九章算术》成书时中同的情形完全不同，当时的古希腊处于形式逻辑的发展时期。把形式逻辑的思想方法运用于数学研究并排斥数学应用，形成了一种强大的思潮．欧几里得(Euclid)正处于这个时期，他在几个世纪以来的几代数学家的肩膀上，将几何知识用演绎法加以整理，撰成《几何原本》．事实上，古希腊地处沿海，具有优良的自然条件，而且与两大文明古国埃及和巴比伦相邻。这样的地理环境十分有利于希腊人与外界进行广泛的交流，从不同的文化传统中吸取精华，进而有利于他们形成对事物的整体看法，即世界观。对其进行整合和系统化，便形成了古希腊高度发达的哲学，其思维方式是理性的、严密的。古希腊的数学是在哲学基础上产生的，这就注定了数学体系的逻辑演绎性。古希腊文化孕育了其数学的纯粹理性思维特征，实用性强调数学在人类文明演进中的重要作用。至此，我们就不难理解《几何原本》何以形成逻辑演绎体系这一区别于《九章算术》的显著特点了。

（二） 两书体例的比较

《九章算术》按问题的性质和解法分为九大类，每一类为一章。每一章又分为几个小类。每一小类都有一般解题步骤(相、与于现代数学中的公式)。每道题都给出答案，大部分没有具体计算过程和演草，但都可以套用解题步骤求得解答。这种结构体系是中国古代数学理论体系的典型代表，即以算法为巾心，存解题中的算法，根据算法组建理论体系，充分表现了中因数学特有的形式和思想内容。《几何原本》的结构与《九章算术》不同，共十三篇(有些版本里还附加两篇，但那肯定是后人写的)由两部分构成，第一部分为定义36条、作图公法4条、公理和公设19条，是全书的推理基础，列于第一卷之首，另外某些卷的开头有时也有定义若干条。第二部分为题，是每一卷的主要部分，每一题都相当于一条定

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理，题下有解(相当于题设和题断)和论(就是证明)，有的还有法(包括解，再加上作图步骤)。全书的主导思想是通过逻辑推理把整个内容贯穿起来，基本上形成一个今天看来不很严谨的逻辑演绎系统。

（三） 两书内容的比较

《九章算术》内容极为丰富，是从春秋至秦汉千年时间内社会生产发展过程中各方面积累的数学知识的总汇集。全书246题，包含有方田、黍米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九章，基本上包含当时所有数学分支的内容，涉及了相当多的社会问题，举凡算术、代数、几何以及某些数论知识全包括在内，近乎是那个时代的数学百科全书。其中算术和代数水平最高，几何方面的水平也不低，特别是有些复杂的体积计算法则是《几何原本》中所没有的，如对一些楔形体体积的计算。但在数论方面水平不如《几何原本》高，不过内容也有涉及《几何原本》主要讲几何问题，但其中七、八、九三卷讲数论问题，如求两数的最大公约数的方法、素数的个数为无限的证法等。此外也讲到了比例理论、正方形的对角线和一边不可公度等。值得一提的是，在《九章算术》中，几何方面也颇有建树，但其解决方法与《几何原本》的截然不同。前者是几何代数化，即用计算的方式解决几何方面的问题，这或许就是代数法解几何问题的先例，笔者以为这一点对笛卡尔创建解析几何或许产生了一定的影响，或是不同文化背景下的殊途同归；后者是代数几何化，其中的数论题都是通过严格的逻辑得以解决，几何问题更是如此。整体上看，两书各有长短。《九章算术》以实用性、计算性和丰富性优于《几何原本》，而《几何原本》则以几何、数论和逻辑性超过《九章算术》。《九章算术》与《几何原本》互为长短。这既是两书的特点，也大体代表了古代东西方数学的特色。

（四）对当代数学教育改革的启示

1.数学教育观

数学教育观是对数学教育整体的、系统化的看法，分为数学观和教育观。其中数学观又有动态和静态之分，教育观也是如此。动态的数学观认为数学是一项人类活动，是一个有内部联系的、动态发展的学科；静态的数学观认为数学是定理、公式的静态积累，是一个永恒不变的学科；动态的教育观认为学生不是空着脑袋进教室的，教学活动的开展要建直在学生原有认知发展水平及已有知识经验基础之上，学生主体，教师主导，笔者认为，这实际L是建构主义教育观；静态的教育观认为教学活动是一种程序化的过程即概念一定理一例题一练习，学生被动地接受教师传授的知识，是一种传统的教育观。执此以19世纪以前的中同的数学教育观，其深受《九章算术》的影响，认为数学是来源于生活实际并服务于

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