江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2009届高三第三次(2)

12?43(3x)3??(2x)2h?34?,所以h?1792x2?2x,所以工艺品的表面积为S?12?4?(3x)2?2?(2x)h??(3x)2?2??(2x)2 ?35?x2?4?x(1792x2?2x)

?17?(x2?2x).3由x?0且h?179512x2?2x?0,得0?x?3.所以S关于x的函数关系式是S?17?(x2?2351x),0?x?3. （2）由（1）知，S??17?(2x?2x)?34?(x3?1)3x2,0?x?513.

令S??0,得x?1.当0?x?1时,S??0,所以S关于x??0,1?是单调减函;数

3当1?x?513时,S??0,所以S关于x??3?1,51??是单调增函数?3?.?

所以,当x?1时,S取得最小值S2min?17?(12?1)?51?,此时h?4.答：按照圆柱的高为4cm，圆柱的底面半径为2cm，半球的半径为3cm设计，工艺品的表面积最小，为51πcm2. 19．解：（1）①因为a3?2,a5?6,所以,公差d?a5?a32?2,从而 an?a5?(n?5)d?2n?4 ??????2分

又aa53,a5,an1,an2,?,ant,?是等比数列,所以公比q?a?3,所以3at?1nt?a5?3t?2?3,t?N*.又ant?2nt?4,所以2nt?4?2?3t?1,所以n?1t?3t?2,t?N*.????4分

②因为n21?5时,a3,a5,an1成等比数列,所以a3an1?a5,即 aa2536n1?a?. ??????6分

3a3又{an}是等差数列,所以当n?3时,aa5?a3n1?a3?(n1?3)?2?a6?a33?2(n1?3),所以366?a3a?a3?(n1?3),32即36?a6?a3

a3?(n1?3),32所以36?a23a?6?a3(n1?3).32因为6?a6?a33?0,所以a?n1?3,解得n121?5?.32a3

因为n121是整数,且n1?5,所以a是正整数,从而整数a3必为12的3正约数。??8分

（

2

）

由

an?1an?3an?1?an?4?0,得an?1an?2an?1?2an?4?an?an?1,

即(an?1?2)(an?2)?(an?2)?(an?1?2).(*) ??????10

分

由（*）知

ak??2,则ak?1??2;若存在ak?1列，与“a2009小于数列{an}中的其他任何一项”矛盾，因此(an?1?2)(an?2)?0.

11由（*）式知??1,

an?1?2an?211从而数列{}是首项为,公差为1的等差数列,即

an?2a1?211??(n?1). ??????12分

an?2a1?21方法一 由于数列{}是递增数列,且a2009小于数列{an}中的

an?2其他任何一项，

在

??2,则ak??2,所以{an}是常数

：若存

因此,a2009?2?0,且即?1?即?1a2009?2?1a2010?2?1??1,从而?1?1a2009?2?011?2008?0,即?2009???2008,a1?2a1?211?a1?2??,200820091140174019即?1??2?a1???2,即??a1??.????15200820092008200940174019综上,a1的取值范围是(?,?).????16分20082009 方法二

11?n?(1?),即an?2?an?2a1?211n?(1?)a1?2,所以

即a2009?2小于数列{an?2}中的其他任何一项,所以a2009?2?0,且a2010?2?0,这是因为若a2009?2?0,则由得a2009?2?a2010?2?0,即a2009?a2010,与

“a2009小于数列{an}中的其他任何一项”矛盾：

1a2009?2?1a2010?2,a2009?2a2010?2与“a2009小于数列{an}中的其他任何一项”矛盾：

若a2010?2?0,则由1?1,得a2010?2?a2009?2?0,即a2009?a2010,当n?1?当n?1?1时,an?2单调递增,且an?2?0;a1?21时,an单调递减,且an?2?0.a1?2由于a2009小于数列{an}中的其他任何一项,即a2009他任何一项,所以n?2?1?loga(n?1),所以n?2x?2m,n是关于x的方程loga?1?loga(x?1)在区间(2,??)内的两个x?2不相等的实根,?2小于数列{an?2}中的其即m,n是关于x的方程ax2?(a?1)x?2(1?a)?0在区间(2,??)内的两个又logaa2009?2?0,且a2010?2?0,即2009?1?1a?2?2010,1即?2009?1a??2008,1?2即?12008?a11?2?2009;解得?40172008?a40191??2009.综上,a401740191的取值范围是(?2008,?2009).????16分 20

．

解

：

（

1

）

由

题

意

logm?2?m?2?0,m?2?1?log(m?1),所以?aa??m?2解得m?2.

?m?1?0,得

不相等的实根,??a?0且a?1,??(a?1)2?8a(a?1)?0,即???a?1解得0?a?1???2,9.????6分?2a??4a?2(a?1)?2(1?a)?0,此时,由于函数y?x?24x?2?1?x?2在区间[m,n](m?2)上是单调增函数且y?0,结合函数y?logax在区间(0,??)内是单调减函数,知函数f(x)?logx?2ax?2,x?[m,n]是单调减函数,值域为[1?loga(n?1),1?loga(m?1)].故实数a的取值范围是区间(0,19). ??????8分

（2）令h(x)?ax2?(a?1)x?2(1?a).

由于h(2)?4a?2(a?1)?2(1?a)?4a?0,h(4)?16a?4(a?1)?2(1?a)?18a?2?0,

所以2?m?4?n. ??????12分

（

3

）

因

为

函数

g(x)?1?loga(x?1)?logx?2ax?2?1?log(x?1)(x?2)ax?2, ，

所以,当x?2时,2等。 ??????10分

21．A．证明：（1）连结OP，

因为AC⊥l，BD⊥l，

所以AC//BD。 ??????2分 又OA=OB，PC=PD，

所以OP//BD，从而OP⊥l。??????4分 因为P在⊙O上，

所以l是⊙O的切线。 ????6分 （2）连结AP，

因为l是⊙O的切线，

所以∠BPD=∠BAP。 ??????8分

又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，

所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD。 ????10分

B．解 由题知，四边形ABCD是直角梯形，其的面积为S1=3。 ??????3分

A，B，C，D四点经矩阵M对应的变换后依次为

A1(0,1),B1(2,2k?1),C1(2,2k?3),D1(0,2). ??????7分

因为A1D1与B1C1平行且距离为2，且四边形A1B1C1D1也是直角梯形，

所以四边形A1B1C1D1的面积为S2?2x1x?2(2x?1)(x?2)?(x?x?2)1x(x?4)C．解：曲线C的普通方程是?y2?1. ??????2分 g?(x)?????,3lna(x?2)(x?1)lna(x?2)(x?1)(x?2)(x?2)2直线l的普通方程是x?3y?3?0. ??????4分 因为lna?0,所以设点M的坐标是(3cos?,sin?),则点M到直线l的距离是

当x??m,4?时,g?(x)?0,即g(x)在区间[m,4]上是单调增函数;?3|2sin(??)?1||3cos??3sin??3|当x?(4,??)时,g?(x)?0,即g(x)在区间[4,n]上是单调减函数;4d??. ??

22(4?1)(4?2)故A?g(4)?1?loga?1?loga9. ??6分

4?2?因为?2?2sin(??)?2,所以1由0?a?,得?1?loga9?0,49???3?当sin(??)??1,即???2k??(k?Z),即??2k??(k?Z)时所以0?A?1.????16分4424

d取得最大值。 ??????8分

62,sin???.22

62综上,点M的坐标为(?,?)时,距离最大.????10分22D．证明：因为a?0,b?0,所以 此时3cos???11?33a?b??33b?0. ① ??????4分 aa1112同理可证a??2?33?0. ② ??????6分

baba?b?由①，②结合不等式的性质得

1?2?2?3. 21111(a?b?)(a2??2)?33b?33?9. ??????10分

abab22

．

解

：

（

1

）

由

题

知

11A3?An3n7P(X?2)???, ????2分 2(n?3)(n?2)30An?3综上所述，四边形ABCD与四边形A1B1C1D1的面积相

即7n2?55n?42?0,即(7n?6)(n?7)?0.

因为n?N*,所以n?7.????5分 （2）由题知，X的可能取值为1，2，3，4，所以

P(X?1)?A177A2173A77A1?10,P(X?2)?,P(X?3)?A?,1030310120

P(X?4)?1?777110?30?120?120,所以，X的概率分布表为 X 1 2 3 4 P 7 771030 1120120 ??????8分 所以E(X)?1?710?2?7711130?3?120?4?120?8. 答X的数学期望是118. ??????10分

23．解：（1）由题知，抛物线C的焦点F(0,1224),A(x1,x1),B(x2,x2),所以FA?(x1211,x21?4),FB?(x2,x2?4).因为FA??FB,所以FA??FB共线,即xx2111(2?4)?x2(x21?4)?0,即(x12?x1)(x1x2?4)?0. 因为x所以x11?x2,1x2??4.????2分由题设条件x1?x2知,直线AB的斜率k一定存在,且y?y22k?21x2?xx?x?1?x1?x2.????3分21x2?x1设直线AB的方程为y?kx?14,则直线AB与抛物线C所围的面积S??x211k12x(kx??x2)dx?(?3x3?2?x2?4x)|x14x1?(?13x3k211k12?2?x2?4x2)?(?3x31?2?x21?4x1)??13k213(x32?x1)?2(x2?x21)?4(x2?x1) ?(x)[?13(x2)?k12?x12?x2x1?x212(x2?x1)?4]?(x2?4x11k12?x1)2x1[?3(x2?x21)?3x2x1?2(x2?x1)?4]?k2?1[?13k2?13?14?k12?k?4]?1

(k2?1)k216?1?6,

当且仅当k?0,即x1??x2,即???1时,Smin?分

1. ??????5622 （2）由题知A(x1,x1),B(x2,x2),且x1?x2,则直线AB的斜率

kAB2y2?y1x12?x2???x1?x2.x2?x1x2?x1设直线AB的方程为y?x12?k(x?x1),即y?(x1?x2)x?x1x2,则直线AB与抛物线C所围的面积S??[(x1?x2)x?x1x2?x2]dxx1x2

x1?x2112?x2?x1x2x?x3)|x?(x2?x1)3,x12364143因为S?,所以(x2?x1)?,得x2?x1?2. ??????8

363?(分

设M(x,y),则x?x1?x2?x1?1,22y1?y2x12?x2y???x12?2x1?2?(x1?1)2?1,

22所以y?x2?1.故点M的轨迹方程为y?x2?1.????10分

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