江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2009届高三第三次

本资料来源i江苏省海安2009届高三第三次调研测试

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分。）

1．已知集合A?{x|x?2},集合B?{x|x?a}.若A?B?{2},则实数

a= 。 2．命题：“?x?(0,x2y210．椭圆??1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中

123点M在y轴的正半轴上，那么点P的坐标是 。

11．正四面体ABCD的棱长为1，棱AB//平面α，则正四面体上所有点在

平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为 。

12．若不等式[(1?a)n?a]lga?0对任意的正整数n都成立，则a的取

值范围是 。 13．已知函数

f(x)?x3?bx2?cx?d(b,c,d为常数),当k?(??,0)?(4,??)时,方程f(x)?k?0有且仅有一个实根,当k?(0,4)时,方程f(x)?k?0有3个相异实根。给出下列4个命题： ①方程f(x)?4和f?(x)?0有且仅有一个相同的实根； ②方程f(x)?0和f?(x)?0有且仅有一个相同的实根；

③方程f(x)?3?0的任一实根都大于f(x)?1?0的任一实根；

④方程f(x)?5?0的任一实根都小于f(x)?2?0的任一实根。

其中正确命题的序号是 。 14．定义区间

?c,d?,?c,d?,(c,d),[c,d]的长度均为d?c,其中d?c.若a,b是实数，且a?b,则满足不等式?2),sin?x”的否定是 。

1?2i22?i2)?()= 。 1?i1?i3．已知i是虚数单位，计算：(4．在△ABC中，AB=2，D是AC的中点，若AB?AC?4,则AB?BD= 。

5．某公司招聘员工，面试人数y拟照公式

1?x?100,?4x,?y??2x?10,10?x?100,确定,其中x表示拟

?1.5xx?100?录取人数，现已知面试人数为60人，则该公司拟录取的人数为 人。

6．已知米拉等可能地落入如图的示的四边形

ABCD内，如果通过大量的实验发现米粒△

BCD内的频率稳定在

4附近，那么点A和点9C到直线BD的距离之比约为 。

7．一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输

出的结果为

11??1的x构成的区间的长度之x?ax?b4，则判断框中应填入的条件是：5R

上的函数

a< 。

8．已知定义在

f(x)?2sin(?x??)(??0,|?|?最小正周期是?,且f(0)?3,?= 。

?2和为 。 二、解答题：（本大题共6小题，共90分。） 15．（14分） 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

Cb2?c2?a2?3bc,sinAsinB?cos2.

2 （1）求角A，B，C的大小；

（2）若BC边上的中线AM的长为7，求△ABC的面积。

)的则

9．设数列{xn}满足log2xn?1?1?log2xn(n?N)，且

*x1?x2???x10?10,记{xn}的前n项和为Sn,则S20= 。

16．（14分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，经过两点

A(1,255),B(?2,55).圆C以点（2，0）为圆心，椭圆的短半袖长为半径。 （1）求椭圆E的标准方程；

（2）若点P是圆C上的一个动点，求CP?OP的取值范围。

17．（ 14分） 在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2AD=4，E，F，G分别是BC，CD，AB的中点（如图1）。将四边形ABCD沿FG折成空间图形（如图2）后， （1）求证：DE⊥FG；

（2）线段BG上是否存在一点M，使得AM//平面BDF？若存在，试指

出点M的位置，并证明之 ；若不存在，试说明理由。

18．（16分）某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个圆柱和一个半球组成，要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为3：2，工艺品的体积为34πcm3。设圆柱的底面直径为4x(cm)，工艺品的表面积为S(cm2)。

（1）试写出S关于x的函数关系式；

（2）怎样设计才能使工艺品的表面积最小？

19．（ 16分）对于数列{an},

（1）已知{an}是一个公差不为零的等差数列，a5=6。

①当a3?2时,若自然数n1,n2,?,nt,?满足5?n1?n2???nt??,且a3,a5,an1,an2,?,ant,?是等比数列,试用t表示nt；

②若存在自然数

n1,n2,?,nt,?满足5?n1?n2???nt??,且a3,a5,an1,an2,?,ant,? 构成一个等比数列。求证：当a3是整数时，a3必为12的正约数。 （2）若数列{an}满足an?1an?3an?1?an?4?0,且a2009小于数列{an}中的其他任何一项，求a1的取值范围。 20．（ 16分） 设函数f(x)?logx?2ax?2,x?[m,n]是单调减函数，值域

为[1?loga(n?1),1?loga(m?1)].

（1）求实数a的取值范围； （2）求证：2?m?4?n； （3）若函数g(x)?1?logx?2a(x?1)?logax?2,x?[m,n]的最大值为A，求证：0?A?1.

C．选修4—4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重

合，曲线C的极坐标方程为

?x??3t,?2cos2??3?2sin2??2,直线l的参数方程为(t为参数,t?R).?y?1?t? 23．（本小题10分）已知F为抛物线C:y?x2的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2)试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大。

D．选修4—5：不等式选讲 已知a?0,b?0.求证:(a?b?12 a)(a?1b?1a2)?9.

[必做题]

22．（本小题10分）口袋中有n(n?N*)个白球，3个红球。依次从口袋中

任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果

取到白球，就停止取球。记取球的次数为X。若P(X?2)?7 30，求： （1）n的值；

（2）X的概率分布与数学期望。

是抛物线C上的两点，且x1?x2.

1）若FA??FB(??R),则?为何值时，直线AB与抛物线C所围

成的图形的面积最小？该面积的最小值是多少？ 2）若直线AB与抛物线C所围成的面积为

43，求线段AB的中点M的轨迹方程。

参考答案

（（1．2 2．?x?(0,?2),sinx?x 3．0 4．—2 5．25 6．49 7．5 8．?3 9．10250 10．(3,3212) 11．[4,2]

12．(0,12)?(1,??) 13．①②④ 14．2

15．解：（1）在?ABC中,由b2?c2?a2?3bc,得b2?c2?a2?3bc，

cosA?b2?c2?a2 所以32bc?2.

在?ABC中,因为0?A??,所以A??6. ??????2分

又因为sinAsinB?cos2C11?cosC2,所以2sinB?2, 即sinB?1?cosC. ① ????????4分 在?ABC中,因为A?B?C??,所以B?5?6?C. 代入①得sin(5?6?C)?1?cosC, 即1coCs3 2?2sinC?1?coCs,即3 2sinC?12coCs?1, 即sinC(??6)?1. ② ??????6分

因为0?C??,所以??6?C??6?5?6, 所以，由②得C???2?6?2,即C?3. 所以B?5?6?2?3??6. 综上，A??,B??,C?2?663. ??????8分

（2）在△ABC中，由于BC边上中线AM的长为7，故在△ABM

中，由余弦定理得

AM2?c2?a24?2c?a2?co?s6， 即7?c2?a234?2ac. ③ ??????10分

在△ABC中，由正弦定理得

asin??b??c6sin6sin2?, 3 即a?b?c3. ④ ??????12分 由③④解得a?2,b?2,c?23.

故

?ABC的面积S?12absinC?12?2?2?32?3. ??????14分

16．解：（1）设椭圆E

的标准方程为

mx2?ny2?1(m?0,n?0,且m?n). ????2分

因

为

?m4A(1,255),B(?2,5???5n?1,5)在椭圆E上,所以? ???

??4m?1?5n?1,?4分

解得m?15,n?1，满足条件 所以所求椭圆E的标准方程为x25?y2?1. ??????6分 （2）由（1）知椭圆的短半轴长为1，所以圆心坐标为（2，0），半径r=1， 故圆C的方程为(x?2)2?y2?1. ??????8分 设P(x,y),则CP?(x?2,y),OP?(x,y)，所以

CP?OP?x(x?2)?y2?x2?y2?2x?2x?3. ??????10

分

因为

(x?2)2?y2?1,所以(x?2)2?1,即?1?x?2?1,得1?x?3.

所以?1?2x?3?3,

即CP?OP的取值范围为[—1，3]。 ??????14分

解法二 由（1）知椭圆的短半轴长为1，所以圆心坐标为（2，0），半

径r=1， 故圆C的方程为(x?2)2?y2?1. ??????8分

设P(2?cos?,sin?),??R,则CP?(cos?,sin?),OP?(2?cos?,sin?),

所

以

CP?OP?c?(2?c?)?(?)2?2c??1. ????

??12分

因为?1?cos??1,所以?1?2cos??1?3,

即CP?OP的取值范围为[—1，3]。 ??????14分

评注：（1）中求椭圆E的标准方程时，若设x2y2 a2?b2?1(a?b?0)，

x2y2则扣2分。这里需要分类讨论，情况a2?b2?1(a?b?0)不可能。

17．证：（1）在图1中，因为∠ABC=∠BAD=90°，所以AD//BC。

因为F，G分别是CD，AB的中点，所以FG//AD//BC。 在图2中，因为FG//AD，FG//BC，所以AD//BC。 因为BC=2AD，E是BC的中点，所以AD=BE。

所以四边形ABED是平行四边形。 所以AB//DE。 ??????3分

因为∠GAD=∠GBC=90°，FG//AD，FG//BC， 所以AG⊥FG，且BG⊥FG。

因为AG∩BG=G，且AG，BG?平面AGB，所以FG⊥平面AGB。 因为AB?平面AGB，所以FG⊥AB。 所以DE⊥FG。 ??????6分

（2）当M在线段BG上，且BM=2MG时，AM//平面BDF。 ??????8分

证明如下：

在线段BF上取点N，使BN=2NF。

因为FG是梯形ABCD的中位线，BC=2AD=4， 所以FG//AD，且FG=3。

因为BM=2ME，BN=2NF，所以MN//FG，且MN=23FG?2. 所以MN//AD. ??????10分

所以四边形MNDA是平行四边形。 所以AM//DN。 ??????12分

又因为DN?平面BDF，AM?平面BDF， 所以AM//平面BDF。 ??????14分 18．解：（1）由题知圆柱的底面半径为2x，半球的半径为3x。设圆柱的

高为oh(cm)。因为工艺品的体积为os34oπcm3

，所以 s

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