概率统计练习册习题解答(4)

E(X)?1，D(X)?1. 1?E[(X?1)(X?2)]?E(X2)?3E(X)?2??2?2??2，故??1. 所以，1Y?B(8,)2，故E(Y)?4，D(Y)?2. 所以， 由于E(X?3Y?4)?E(X)?3E(Y)?4??15.

由于X与Y相互独立，故D(X?3Y?4)?D(X)?9D(Y)?19。

?12y2,0?y?x?14．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)??,试求D(X)及D(Y)。

0,其它?E(X)??????解： ?????xf(x,y)dxdy??(?x?12y2dy)dx?001x1x45, 23, E(X2)???????????x2f(x,y)dxdy??(?x2?12y2dy)dx?00D(X)?E(X2)?(E(X))2? ????275, 1x E(Y)???????yf(x,y)dxdy??(?y?12y2dy)dx?001x35, 25, E(Y2)???????????2y2f(x,y)dxdy??(?y2?12ydy)dx?0023212D(Y)?E(Y)?(E(Y2)?)?(?)5525 。

习题3-3 协方差与相关系数

习题3-4 其他特征数

1．填空题

Y?U(0,6)且?XY?（1）设随机变量X?P(2)，

1X?3Y?3，，若Z?2则D(Z)?___23____。

6（2）设(X,Y)服从二维正态分布，则cov(X,Y)??是X与Y相互独立的 充要 条件。 （3）设(X,Y)服从二元正态分布N(0,1,1,4,0.5)，则E(2X?XY?3)?___4_____。 2. 选择题

（1）设X与Y的相关系数?XY?0，则必有 C 。 (A)X与Y相互独立； (B)X与Y不一定相关；

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2(C)X与Y必不相关； (D)X与Y必相关

（2）设随机变量X与Y的期望和方差存在，且D(X?Y)?DX?DY,，则下列说法哪个是不正

确的 D 。

(A)D(X?Y)?DX?DY； (B)E(XY)?EX?EY； (C)X与Y不相关； (D)X与Y独立

YX3. 已知二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为 ?101?11/80011/81/81/81/8， 1/81/81/8（1）求协方差cov(X,Y)及相关系数?XY；（2）X与Y是否相互独立？是否不相关？ 解：X及Y的边缘分布列为： X ?1 0 1

Y ?1 0 1 pk 3 8 2 8 38 pk 3 8 28 38 1111(1)E(X)?0,E(Y)?0,E(XY)?1??1??1??1??08888。 故Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0。所以，?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0。 P(X??1,Y??1)?(2)由于19?P(X??1)P(Y??1)?864 所以X与Y不独立。但?XY?0,故X与Y不相关。

4．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为

2?0?y?x,?3x?2xy,0?x?1，f(x,y)??

其他.??0,试求：（1）相关系数?XY；（2）X与Y是否相互独立？是否不相关？

解：（1）E(X)??110??x014x(3x?2xy)dydx?E(Y)??05，2???x0y(3x2?2xy)dydx??1330， E(X2)??0??x0x2(3x2?2xy)dydx??12E(Y2)??03，??x0y2(3x2?2xy)dydx??14， 16

D(X)?E(X2)?(E(X))2?1214D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2?75，225。 E(XY)??0??x0xy(3x2?2xy)dydx??1313Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?36，900， ?XY?Cov(X,Y)13?21168D(X)D(Y)。 （2）由于

?XY?0，所以，X与Y相关. 从而，X与Y不相互独立.

习题4 大数定律与中心极限定理

1. 用切比雪夫不等式估计下列各题的概率：

（1）废品率为0.03，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。

（2）200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率（假定生男孩和生女孩的概率均为0.5）。

,0.03)， 解 （1）设X表示1000个产品中废品的个数，则X~B(1000所以 E(X)?np?1000?0.03?30, D(X)?np(1?p)?29.1 所求概率 P(20?X?40)?P(?10?X?30?10)?P(|X?30|?10) 在切比雪夫不等式

P(|X?E(X)|??)?1? 中取??10，就有

D(X)?2 P(20?X?40)?1? 29.1?0.709102。 1X~B(200,)2。 （2）设X表示200个新生婴儿中男孩的个数，则所以 E(X)?np?200?0.5?100, D(X)?np(1?p)?50 所求概率 P(80?X?120)?P(|X?100|?20) 在切比雪夫不等式

P(|X?E(X)|??)?1? 中取??20，就有

D(X)?2 17

P(80?X?120)?P(|X?100|?20)?1? 50?0.875220。

2. 已知正常成人男性血液中每毫升含白细胞数的平均值是7300个，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计血液中每毫升血液中细胞数在5200~9400之间的概率。

解 以X表示每毫升含白细胞数，由题设

2E(X)?730,0D(X)?700

而概率

P(5200?X?9400)?P(?2100?X?7300?2100)0210)0 ?P(|X?730|?

在切比雪夫不等式

中，取??2100，此时 1?D(X)?2?1?7002/21002?8/9，知 P(|X?7300|?2100)?8/9?0.8889。

3. 某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位。问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。

解 设X表示同时开动机床的台数，则X~B(200, 0.7)

E(X)?np?200?0.7?140, D(X)?np(1?p)?200?0.7?0.3?42 又设同时开动台数不超过N的概率为95%。由中心极限定理

P(X?N)?P( X?npN?140N?140?)??()np(1?p)4242 N?140)?0.9542 ?(由题意要求 N?140?1.64542查表得 得N?150.67，取N?151，应供电能151?15?2265个单位才能满足要求。

4. 在人寿保险公司里有10000个同一年龄的人参加人寿保险。在这一年中，这些人的死亡率为0.6%，参加保险的人在一年的头一天交付保险费12元，死亡时，家属可以从保险公司领取1000元。求

(1)保险公司一年中获利不少于4000元的概率；

18

(2)保险公司亏本的概率。

,0.006)，由题意，保解 设X表示一年中10000个同龄参保人中死亡的人数，则X~B(10000险公司的收益为10000?12?120000元，支出为1000X。由中心极限定理

（1）保险公司一年中获利不少于40000元的概率为

P(120000?1000X?40000)?P(X?80) ?P(X?np60np(1?p)?80?59.64)??(2.59)?0.9952 （2）保险公司亏本的概率为

P(1000X?120000)?P(X?120)

?1?P(X?np?120?60 np(1?p)59.64)?1??(7.77)?0 可见保险公司一般不会亏本。

5. 设随机变量X1,X2,?,X48相互独立且都在[0，1]上服从均匀分布。148X?48?Xi，试用中心极限定理计算P(X?12?0.04)的值。 i?1解 因为

Xi~U(0,1),i?1,2,?48,所以

E(X1 i)?2, D(X1i)?12 从而

E(X)?1 2, D(X)?11148?12?242 于是

?P(|X?1??|?0.04)?P?X?E(X)0.04??2?||??D(X)1? ?242?? ?2?(0.96)?1?2?0.8315?1?0.6630。

习题5—1 数理统计的基本概念 习题5—2 统计量和抽样分布

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令

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