第10讲 周期问题

小学数学竞赛专题讲座

第10讲 周期问题

【探究必备】

每周有7天，从周一到周日，周而复始地出现，每年有12个月，从1月到12月周而复始地出现，每年有4季，从春天到冬天，周而复始地出现，??，在日常生活和学习中，人们把这种有规律的重复出现的现象叫做周期现象，把有规律的重复出现的一个单位称为周期，例如周一到周日称作一个周期，这个周期为7，从1月到12月称作一个周期，这个周期为12，??。

解决周期问题的关键是找准周期和总数，然后用“总数÷周期” ，根据余数来解决问题，如果没有余数，该物体（颜色）就是这个周期的最后一个，如果有余数，该物体（颜色）就从这个周期的第一个数起，余数是几就数几个。

解决较复杂的周期问题，找准周期是难点。有时采用写一写、列表、画图等方式，对发现并找准周期有很大的帮助。 【王牌例题】

例1、有一些黑球与白球，排成如下图形状： ??●??●??●??? 第24个什么颜色的球？第50个呢？

分析与解答：从图上我们不难发现，排列的规律是2白1黑（??●），周期是3。再看24、50里面包含有几个这样的周期（组），若正好有整数个周期（组），结果为该周期里的最后一个，如24÷3=8（组），则第24个为黑球；若是几个周期余几个，结果为下一个周期里的第几个，如50÷3=16（组）??2（个），则第50个为第17个周期里的第2个，即白球。 例2、有一些黑球与白球，排成如下图形状： ?●??●??●??●???

前40个球里面有多少个黑球？有多少个白球？

分析与解答：这些球排列是有规律的，即1白1黑1白，把这看作一个周期（组），首先计算出前40个球按1白1黑1白的规律排成几个周期还剩几个，剩的几个分别是什么颜色的球，即40÷3=13（组）??1（个），分13组余1个（白球），因为一个周期里面有2个白球和1个黑球，所以13个周期里共有黑球1×13=13（个），白球2×13+1=27（个）。

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例3、一次数学课上，陈老师在黑板上写下一组数：3、5、2、0、8、3、5、2、0、8、3、5、2、0、8??问：同学们，你们能很快求出前81个数的和吗？ 分析与解答：因为这些数都是按3、5、2、0、8排列的，可以把它们看作一个周期（组），周期为5，首先算出前80个数有几个周期，还余下几个，即81÷5=16（组）??1（个），可以分成16个周期还剩1个，数字为3，因为一个周期的和为3+5+2+0+8=18，则前81个数的和为18×16+3=291。 例4、2013年1月9日是星期三，1月31日是星期几？

分析与解答：要解答这道题，首先计算出从1月9日到1月31日经过了多少天，即31-9=22（天），再按星期四、星期五、星期六、星期日、星期一、星期二、星期三的顺序排列，周期为7，由于22÷7=3（组）??1（天），所以1月31日是第四个星期的第一天，即星期四。

例5、体育课上，12个男生站成一圈（如图），进行传球练习。 （1）从1号同学开始，如果顺时针传50次，球应在

谁手中？

12 11 10 9 8 7 1 2 3 4 5 6 （2）从1号同学开始，如果逆时针传50次，球应在

谁手中？

（3）从1号同学开始，先顺时针传100次，再从拿球 的同学开始，逆时针传80次，这时球在谁手中？

分析与解答：因为12次为一个周期，因为50次有4个周期余2个，即50÷12=4（组）??2（次），按顺时针传球的顺序是1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12，所以顺时针传50次球应在2号同学手中；按逆时针传球的顺序是1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2，所以逆时针传50次球应在12号同学手中；因为100÷12=8（组）??4（次），所以从1号同学开始，先顺时针传100次球在4号同学手中，又因为80÷12=6（组）??8（次），所以再从4号同学开始，即4 3 2 1 12 11 10 9 8 7 6 5逆时针传80次球应在9号同学手中。 例6、

A 学 B 奥 C 数 D 长 E 智 A 慧 B 学 C 奥 D 数 E 长 A 智 ? ? 在上表中，每列上、下两个格的内容组成一组，例如，第一组是“A、学” ，第二组是“B、奥” ??第65组是什么？

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分析与解答：要求第65组是什么，要分别求出上面是什么字母，下面是什么字，根据周期问题的解法分别计算，再组合答案就可以，第一行的周期是5（ABCDE） ，由于65÷5=13（组），因此第一行第65个格是“E” ，第二行的周期是6，因为65÷6=10（组）??5（个），所以第二行的第65格是“智” ，综合上述，第65组是“E和智” ；这道题也可以用30（5和6的最小公倍数）为周期，即65÷30=2（组）??5（个），那么第65组是“E和智” 。 例7、85个3相乘，积的个位是几？

分析与解答：这道题我们只需考虑积的个位数字出现的规律，可以用列表的方法找出规律： 3的个数 积的个位数字 1 3 2 9 3 7 4 1 5 3 6 9 7 7 8 1 9 3 10 9 11 7 ? ? 通过列表计算，不难发现，随着因数中3的个数的变化，积的个位数字的出现是有规律的，“3、9、7、1”为一个周期，即每4个3相乘的积的个位数字为一个周期，周期为4，即85÷4=21（组）??1（个），也就是说85个3相乘，则乘积的个位数字出现了21组余1个，所以积的个位是第22组的第1个3，即积的个位是3。 【同步练习】

1. 小明妈妈的工作是将不同颜色的珠子穿成一串。下图是她穿好的一串珠子中的一部分，??●●??●●??●●??●●??●??第50个珠子是什么颜色？第80个呢？

2. 为迎接客人，某酒店门前按黄、绿、绿、蓝、红、红、红的规律插着88面彩旗。第38面是什么颜色的旗帜？最后一面是什么颜色的旗帜？

3. 小明的爷爷王英明90岁生日那天，酒楼用电子屏幕打出了“祝王英明生日快乐！” ，并不断从前往后滚动出示。爷爷对小明说：“小明，字幕从头开始滚动，很快算出第90个字是什么字，就算你送我的最好的生日礼物。”小明稍微想了一

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下，就告诉了爷爷答案，爷爷非常高兴。你猜，小明的答案是什么？

4. 有一组图形，是这样排列而成的：??☆●?★??☆●?★???前80个图形里，一共有多少个?？

5. 有一串彩色珠子，按红、红、绿、绿、蓝的规律排列，共有78个珠子。一共有多少个绿珠子？第7个绿珠子是从头起第几个珠子？

6. 为庆祝节日，李师傅要沿街按照“3盏红灯，1盏蓝灯，2盏绿灯”的规律安装90盏彩灯，第5盏蓝灯到第10盏蓝灯之间（不包括这两盏蓝灯）一共有多少盏彩灯？

7. 在314314314314??中，第55个数字是几？前55个数字的和是多少？

8. 小红准备拿出储蓄罐里所有的钱再次捐给有困难的同学，可是罐里只剩下1分、2分和5分的硬币了，一共有150枚。她将这些硬币按1枚1分，2枚2分，5枚5分的顺序排列起来。最后1枚硬币是几分？这150枚硬币一共有多少分？

9. 在数2357023570235702357023570235702357023570??中，从左起第3个数字到第60个数字之间（含第3个数字和第60个数字）所有数字的和是多少？

10. 2012年1月23日是星期一，3月1日是星期几？

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11. 2012年12月1日是星期六，2013年12月10日是星期几？

12. 2013年1月27日是星期日，2014年1月27日是星期几？

13.一年级5个小朋友A、B、C、D、E围成圈，练习数数，A说1，B说2，C说3，D说4，E说5；A说6，B说7，C说8，D说9，E说10，A说11??79是谁说的？

14. 8个小朋友围成一圈，做击鼓传花游戏，从①号同学开始，顺时针一边传花一边按顺序数数，当数到69，花也传了69次时停止。这时，花在谁手上？

15. 如图，甲、乙两个小朋友玩跳格子游戏，要求每跳一次从一个圆圈跳到相邻的圆圈，如从①号圈可跳到②号圈或⑧号圈。甲从①号圈开始，顺时针跳了67次，乙从①号圈开始，逆时针跳了67次，这时他们所在圆圈的两个数字的乘积是多少？ 16.

A 学 B 奥 C 数 D 学 A 奥 B 数 C 学 D 奥 A 数 B 学 C 奥 ? ? ⑧ ⑦ ⑥ ⑤ ① ② ③ ④ ① ⑧ ⑦ ⑥ ⑤ ② ③ ④ 在上表中，每列上、下两个格的内容组成一组，例如，第一组是“A、学” ，第二组是“B、奥” ??第65组是什么？

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