1990考研数三真题及解析

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1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 极限lim(n?3n?n?n)?_________.

n??(2) 设函数f(x)有连续的导函数,f(0)?0,f?(0)?b,若函数

?f(x)?asinx,x?0,? F(x)??x?A,x?0?在x?0处连续,则常数A=___________.

(3) 曲线y?x2与直线y?x?2所围成的平面图形的面积为_________.

?x1?x2??a1,?x?x?a,?232(4) 若线性方程组?有解,则常数a1,a2,a3,a4应满足条件________.

x?x??a,3?34??x4?x1?a480(5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为,则该射手的命

81中率为________. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数f(x)?x?tanx?esinx,则f(x)是 ( )

(A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数f(x)对任意x均满足等式f(1?x)?af(x),且有f?(0)?b,其中a,b为非零常

数,则 ( ) (A) f(x)在x?1处不可导 (B) f(x)在x?1处可导,且f?(1)?a (C) f(x)在x?1处可导,且f?(1)?b (D) f(x)在x?1处可导,且f?(1)?ab (3) 向量组?1,?2,(A) ?1,?2,(B) ?1,?2,(C) ?1,?2,,?s线性无关的充分条件是 ( ) ,?s均不为零向量

,?s中任意两个向量的分量不成比例

,?s中任意一个向量均不能由其余s?1个向量线性表示

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(D) ?1,?2,,?s中有一部分向量线性无关

(4) 设A,B为两随机事件,且B?A,则下列式子正确的是 ( )

(A) P?A?B??P?A? (B) P?AB??P?A?

(C) PBA?P?B? (D) P?B?A??P(B)?P?A? (5) 设随机变量X和Y相互独立,其概率分布为

m -1 1 ??m P?Y?m? -1 1 P?X?m?

11 2211 22则下列式子正确的是 ( ) (A) X?Y (B) P?X?Y??0 (C) P?X?Y??1 (D) P?X?Y??1 2

三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数I(x)?(2) 计算二重积分

域.

?xelntdt在区间[e,e2]上的最大值. 2t?2t?12?y22Dxedxdy,其中是曲线和在第一象限所围成的区y?4xy?9x??D(x?3)n(3) 求级数?的收敛域. 2nn?1?(4) 求微分方程y??ycosx?(lnx)e?sinx的通解.

四、(本题满分9分)

某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入

R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式:

2R?15?14x1?32x2?8x1x2?2x12?10x2.

(1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略；

(2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.

五、(本题满分6分)

设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数f?(x)在开区间(0,c)内存在且单调减少；

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f(0)?0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:f(a?b)?f(a)?f(b),其中常数a、b满足条件0?a?b?a?b?c.

六、(本题满分8分)

已知线性方程组

?x1?x2?x3?x4?x5?a,?3x?2x?x?x?3x?0,?12345 ?x?2x?2x?6x?b,345?2??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?2,(1) a、b为何值时,方程组有解?

(2) 方程组有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解.

七、(本题满分5分)

已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得A?0,试证明矩阵E?A可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵).

八、(本题满分6分)

设A是n阶矩阵,?1和?2是A的两个不同的特征值,X1,X2是分别属于?1和?2的特征向量.试证明X1?X2不是A的特征向量.

九、(本题满分4分)

从0,1,2,k,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率：

A1?{三个数字中不含0和5}；A2?{三个数字中不含0或5}.

十、(本题满分5分)

一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时),已知X和Y的联合分布函数为:

?1-e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y),若x?0,y?0, F(x,y)??0,其他.?(1) 问X和Y是否独立?

(2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率?.

十一、(本题满分7分)

某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.

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[附表] x 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 ?(x) 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 表中?(x)是标准正态分布函数.

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1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析

一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2

【解析】对原式进行分子有理化,分子分母同乘以有理化因子n?3n?n?n. lim(n??n?3n?n?n(n?3n?n?n)?(n?3n?n?n))?lim

n??1n?3n?n?n?limn?3n?n?nn?3n?n?n, n??再分子分母同时除以n,有

原式?limn??41?31?1?nn.

因为limn??4a?2. ?0,其中a为常数,所以原式?1?1n(2)【答案】b?a

【解析】由于F(x)在x?0处连续,故A?F(0)?limF(x).

x?00limF(x)为“”型的极限未定式,又f(x)在点0处导数存在,所以 x?00f(x)?asinxf?(x)?acosxA?lim?lim?b?a.

x?0x?0x1【相关知识点】函数y?f(x)在点x0连续：设函数y?f(x)在点x0的某一邻域内有定义,如果limf(x)?f(x0),则称函数f(x)在点x0连续. x?x0(3)【答案】41 22y 【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令x?x?2, 解得x??1和x?2,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 S???x?2?x?dx

2?1221?1?1??x2?2x?x3??4.

3??12?2(4)【答案】a1?a2?a3?a4?0

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