嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略(3)

图7：嫦娥三号极角的变化曲线

嫦娥三号软着陆轨道主要由主减速阶段的抛物线轨迹和后面各阶段竖直方向上的直线轨迹两部分组成。如图8所示

图4：嫦娥三号软着陆轨迹示意图

根据问题一中所建立的坐标系可知：近月点坐标为(0,1752.013)，该阶段终端状态的位置坐标为(225.9,1725.008)，利用几何学知识求得该阶段嫦娥三号的抛物线轨迹方程为y??0.0005x2?1752.013。再结合以上仿真计算所得到月心距、极角、径向速度和横向速度四个运行参数的变化情况，进一步对嫦娥三号软着陆轨迹进行详细刻画：

嫦娥三号飞行时间为717.79s，最优推力为4789N，最终燃料消耗为嫦娥三号总质量的48.72%。图4所示为嫦娥三号的最优着陆曲线，从图中可以看出嫦娥三号顺利下降了15km。图5、图6可以看出，嫦娥三号终端时刻的径向速度和横向速度均为0，满足边界约束条件。图7为极角的变化曲线。可以看出：月心距一直在减小；嫦娥三号的径向速度沿指向月心的方向先增大后减小，而横向速度始终在减小。由于轨道优化过程中对极角没有加以限制，在仿真计算中嫦娥三号的飞行极角大致变化7.53。

5.2.3最优策略制定

（1）着陆准备轨道：着陆准备轨道的近月点距月球表面15km，远月点距月球表面100km。近月点在月心坐标系的位置和软着陆轨道形态共同决定了着陆点的位置，嫦娥三号在近月点处开始下降，下降的初速度大小为v近=1.6725km/s。在此阶段，发动机提供推力，为保证燃料消耗最小，推力的方向应与抛物线切线的方向相反。

（2）主减速段：主减速段的区间是距离月面15km~3km。该阶段的主要是减速，实现到距离月面3公里处嫦娥三号的速度降到57m/s。此时主发动机提供减速动力。而主减速阶段的初始速度为v近=1.6734km/s，极角??0，终端速度为57m/s，极角

??7.53。在减速阶段要使燃料的消耗最少，就要尽量调整嫦娥三号使其沿着抛物线

轨迹y??0.0005x2?1752.013运行，发动机推力与速度方向在同一直线上。

（3）快速调整段：快速调整段的主要是调整探测器姿态。启动姿态调整发动机，将速度调整为径向速度为57m/s，横向速度为0m/s。即完成从距离月面3km~2.4km处将水平速度减为0m/s的快速调整段，使主减速发动机的推力竖直向下，之后进入粗避障阶段。在快速调整阶段，为使得燃料消耗最优化，应尽量保持推力方向与径向速度在同一直线上。

（4）粗避障段：粗避障段的范围是距离月面2.4km~100m区间，其主要是要求避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m处悬停，并初步确定落月地点。利用matlab读取附件3三维数字高程图的数据信息（见附录2），初步确定地势相对平坦的区域作为安全着陆点。

为实现粗避障轨迹接近与水平面夹角45的直线下降方式,嫦娥三号合加速度和速度方向必须相反。因此, 推力、月球引力加速度和速度需要满足一定的几何关系[5], 如图9所示。图中,x表示从月心指向嫦娥三号(径向),z表示为航向(速度方向)。则推力加速度大小aF和月球引力加速度大小gm存在如下关系:

图9：加速度和速度几何关系

aF?

gm （2.5）

cos??tan?sin?式中, ?为推力方向与引力方向的夹角，?为速度方向和水平方向的夹角。 于是,合加速度在径向和航向的分量分别为

ax?aFcos??gm,az??aFsin?

若保持径向和航向的加速度不变, 则下降高度和航程为：

22vxf?vx022vxf?vx0sx?2ax,sz?2az （2.6）

式中，vxf和 vzf分别为接近段终端的径向和航向速度，vx0和 vz0分别为接近段入口的径向和航向速度。于是，标称的接近段时间为

Ta?vxf?vx0ax （2.7）

由于采用下降轨迹接近与水平面夹角45的直线下降方式，因此??45。取??9，根据推力、月球引力加速度和速度等约束以及接近段入口高度条件, 就可以计算出接近

段的入口速度和全程加速度等约束。制导位置和速度目标则根据终端状态约束确定。

此阶段要使燃料消耗最少，则推力方向角由在主减速段与速度在同一直线上逐渐变为增加、在嫦娥三号径向的分量以克服由于月球引力引起的径向速度。

（5）精避障段：精细避障段的区间是距离月面100m到30m。要求嫦娥三号悬停在距离月面100m处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。利用matlab获取附件4三维数字高程图的数据信息（见附录3），寻找图像中较为平坦的区域。嫦娥三号根据三维数字高程图，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点。在精避障阶段经历加速与减速两阶段，最后实现在着陆点上方30m处水平方向速度为0m/s。

根据主减速发动机的最小推力Ftmin计算着陆器能实现的最大下降的加速度admax admax??mass?gm?Ftmin?/mass， （2.8） 式中，mass为着陆器质量，根据下降时间（tmax）和高度（h）约束确定加速和减速两阶段加速度?a1,a2?与最大下降速度vm之间的关系。即

222vm?v0vt2?vmvm?v0vt?vm ??h . （2.9）??tmax，

a1a22a12a2如果加速和减速两段的加速度大小相等（即a2??a1），则可得到如下关系：

22 2tmaxvm ?4hvm?2h?vt?v0??vt2?v0tmax?0. （2.10）

??

由此可解得最大下降速度vm，于是加速度大小可得到

a?vt?v0?2vm . （2.11）

tmax如果a?admax，则取a1??admax，由（2.9）式可解算出

a2?否则，取a1??a，a2?a.

22a1vt?a1tmax?v0??a1vt2?a1v0?2a12h?a1t?v0?2?v?2a1h20 .

根据加速和减速两阶段的加速度取值，确定最大下降速度

vm?a1a2tmax?a2v0?a1vt .

a2?a1进而可以确定加速与减速两阶段的切换时间

t??vm?v0 . a1（6）缓速下降阶段 ：缓速下降阶段的区间是距离月面30m到4m。该阶段的主要任务控制着陆器在距离月面4m处的速度为0m/s，即实现在距离月面4m处相对月面静止，之后关闭发动机，使嫦娥三号自由落体到精确有落月点。为了保证着陆月面的速度和姿态控制精度, 缓速下降阶段要以较小的设定速度减速垂直下降, 消除水平速度和加速度, 保持着陆器水平位置, 直到收到关机敏感器测量信号或加速度测量大于预设置值,就关闭主发动机. 从约30m高处垂直下降到着陆点上方4m处,自由落体降落到月球表面，嫦娥三号的着地速度为3.615m/s。要使燃料消耗最少，推力方向与径向速度在同一直线上。

5.3问题三模型建立与求解

5.3.1协方差分析方法的基本原理

对于如下非线性函数关系[6]

y?f?x1,x2,?,xn?

采用一阶泰勒级数展开对其进行线性化，得如下式子：

y??y?f??f?f?x1????xn???x1?xn? ?x1?xn其中，??x1?xn?为x1?xn的高阶项。

从而得到线性化方程?y??i?1n?f，或表示为?Y?P?X，这里P是偏导数矩阵： ?xi

Pi??f ?xi若自变量?x1??xn是随机变量，则线性化方程的函数?y的协方差矩阵为：

E?Y??YT?EP?X?XTPT?PE?X?XTPT，即

??????Cy?PCXPT

式中CX是自变量的协方差矩阵；Cy是函数?Y的协方差矩阵。

协方差矩阵中对角线元素是方差，非对角线元素为协方差。显然，只要求出传递矩阵P，便可确定源误差与欲求量误差之间的关系。 5.3.2嫦娥三号软着陆轨道误差的协方差迭代方程求解

由问题二可知，引起轨道误差的误差源主要是位置误差和速度误差。则反映轨道位置和速度误差的线性化方程如下：

?dr?dt?vr?GMv?2Ft?dvr??2??sin? . ?dtrmr??dv?vrv?Ft?dt?r?mcos??如图所示，建立三维月心坐标系：以月心为原点O，月心指向北极为Oy轴，岩赤道半径指向零子午线为Ox轴，按右手坐标系建立Oz轴。得

r?rx2?ry2?rz2

图10：三维月心坐标系

5.3嫦娥三号软着陆轨道误差的协方差分析

引起轨道误差的误差源主要是位置误差和速度误差。其中：位置误差：

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