嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略(2)

?r(0)?r0??(0)?0??vr(0)?0??v?(0)?v近?r(t)?r

f?f?m(0)?m0??v?(tf)?0?v(t)?57?rf其中，tf为给定的飞行时间。

5.1.3模型求解

（1）通过matlab编程求解，得到主减速段末端位置到近月点的极角

??7.53,

又根据嫦娥三号在3000米高度时的月心距，根据平面几何知识可求得从近月点到距月球表面3000米高的水平位移，如图2所示。

图2：近月点到距月球表面3000米高的水平位移求解示意图

则求得近月点到距月球表面3000米高的水平位移xf?rfsin??228km

（2）相关地理资料显示，相邻纬度间的距离纬度大约为30km，则可求得水平位移经过的纬度为7.53，则近月点的纬度为(44.12?7.53)N?36.59N,根据远月点与近月点对称关系，得远月点的纬度为36.59S。因为近月点与嫦娥三号软着陆点的经度相同为19.51W，则远月点的经度为180?19.51?160.49，根据远月点与近月点的对称关系，则可得远月点的经度为160.49E。近月点的位置为19.51W、36.59N，距月球表面15km；远月点的位置为160.49E、36.59S，距月球表面100km。

（3）根据牛顿第二定律和万有引力定律求得近月点的速度大小为v近=1.6725km/s，结合上述所建立的平面直角坐标系知，其方向垂直y轴水平向右；同理可得远月点的速度大小为v远=1.6334km/s，方向垂直y轴水平向左。

5.2问题二的模型建立与求解 5.2.1模型建立

基于问题一的嫦娥三号软着陆动力学模型，则此时满足嫦娥三号软着陆的初始状态条件不变，终端状态条件改变为： （1）嫦娥三号降落到月球表面，则r(tf)?R

（2）径向速度与横向速度均为零，即vr(tf)?0,v?(tf)?0 则嫦娥三号软着陆的初始状态与终端状态的条件为：

?r(0)?r0??(0)?0??vr(0)?0??v?(0)?v近?r(t)?R ?f?m(0)?m0??v?(tf)?0?v(t)?0?rf而问题二要求优化软着陆轨道，可以说在软着陆过程中消耗的燃料最省即为最优轨道，则可得目标函数

minz??m(t)dt。 （2.1）

t0t1然后把嫦娥三号软着陆轨道进行离散化,则整个的轨道可分割为N个小段，每段的

节点设一个推力方向,如图3所示。

图3：软着陆轨道离散化

那么，各小段之间通过线性插值确定各时刻的推力方向，可得 （1） 各离散点时间序列满足：t0?t1?t2?t3?（2） 系统的状态可定义为XT??vr（3） 控制变量为?；

综上，可将嫦娥三号软着陆的动力学方程简化为为X?f?X,?,t?。

在每个离散的时间点tk处，嫦娥三号状态变量为Xk?X?tk?，控制变量为

v0?tn?tf；

r??；

?k???tk?。由于嫦娥三号的状态变量是连续的,因此在每一小段,利用求积公式对轨道

进行逼近求解,得相邻的两个离散点状态应满足:

1?k?Xk?1?Xk?(K1?2K2?2K3?K4)，

6其中

K1?hkf?Xk,?k,tk?1??K2?hkf?Xk?K1,?k?1,t?2??1??K3?hkf?Xk?K2,?k?1,t?2??K4?hkf?Xk?K3,?k?1,tk?1? hk?tk?1?tk1t?(tk?1?tk)2?k?1??(t)离散化嫦娥三号软着陆轨道,即将轨道分为N段，每个状态变量可以产生N个等式约束。这样便将问题二转化为非线性规划问题。则 （1）非线性规划的变量为Z???X1,?1,X2,?2,,Xf,?f,t0,tf??；

（2）轨道优化的约束即非线性规划的约束c1?c(x)?cn （2.2） 其中c(x)????1,?2,,?f,?0,?f??，

T?0为嫦娥三号在初始时刻满足的约束即?0????X?t0?,??t0?,t0??

??f为嫦娥三号在终端时刻满足的约束即?f????X?tf?,??tf?,tf?

（3）此非线性规划的状态变量所满足的边界X1?X?t??Xn； （2.3） （4）此非线性规划的控制变量所满足的边界为?1???t???n。 （2.4）

以（2.1）式为目标函数，以（2.2）-（2.4）为约束条件，建立非线性规划[4]模型：

minz??m(t)dtt0t1?c1?c(x)?cn ?s.t?X1?X?t??Xn???1???t???n5.2.2模型求解 （一）算法实现

对上述问题利用遗传算法[4]进行求解, 步骤如下:

Step1:将n个取值范围给定的优化参量，按一定的浮点数编码原则排列在一起，成

为一个个体, 随机产生N个这样的个体作为初始种群； Step2:计算每一个个体的性能指标, 并对这N个个体进行排序；

Step3:选择出若干个性能指标取值较小的个体保留,并将其遗传到下一代；

Step4:将个体随机两两配对, 按照指定的概率Pc进行交叉操作； Step5:对每一个个体中的每一个参数, 按照指定概率Pm进行变异操作； Step6:若满足收敛条件则输出最优解并退出, 否则继续进行编码、评价、选择、交

叉和变异等操作。

（二）仿真计算

初始时刻嫦娥三号质量m0?2.4t，发动机比冲I?2940m/s，可供选择的发动机推力限制在1500~7500N之间。嫦娥三号轨道高度h?15km，横向速度v近=1.6725km/s，径向速度vr0?0。

终端时刻嫦娥三号着陆在月面上，月心距rf?1737.013?2.641?1734.372km，速度

vr?tf??0,v??tf??0。

采用遗传算法的参数为: 优化参量的数目n?14, 种群规模N?20。选择策略为采用最优保留策略的轮盘赌法, 每个优化参数交叉概率Pc?0.6，变异概率Pm?0.5，迭代代数Titer?10000。

以下4个图表为月心距、极角、径向速度和横向速度的变化曲线。

图4：嫦娥三号月心距的变化曲线

图5：嫦娥三号径向速度的变化

图6：嫦娥三号横向速度的变化

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