中考数学压轴题二次函数与圆

第四讲：二次函数与圆综合

中考要求

板块

A级要求 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像； 考试要求 B级要求 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； C级要求 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题； 二次函数 例题精讲

一、二次函数与圆综合

0)B(x2，0)两点， 【例1】 已知：抛物线M:y?x2?(m?1)x?(m?2)与x轴相交于A(x1，，且x1?x2．

（Ⅰ）若x1x2?0，且m为正整数，求抛物线M的解析式；

（Ⅱ）若x1?1，x2?1，求m的取值范围；

，2)，若存在，求出（Ⅲ）试判断是否存在m，使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C(0M:y?x2?(m?1)x?(m?2)的值；若不存在，试说明理由；

7)，与（Ⅰ（Ⅳ）若直线l:y?kx?b过点F(0，）中的抛物线M相交于P，Q两点，且使

PF1?，求直线l的解FQ2析式．

【解析】（Ⅰ）解法一：由题意得，x1x2?m?2?0．

解得，m?2．

m为正整数，∴m?1．∴y?x2?1．

解法二：由题意知，当x?0时，y?02?(m?1)?0?(m?2)?0． （以下同解法一）

解法三：??(m?1)2?4(m?2)?(m?3)2，

?(m?1)?(m?3)?x?，?x1??1，x2?2?m．

2?x2?2?m?0．∴m?2．又x1x2?0，（以下同解法一．） 解法四：令y?0，即x2?(m?1)x?(m?2)?0，

(x?1)(x?m?2)?0，∴．（以下同解法三．） x1??1，x2?2?m（Ⅱ）解法一：

x1?1，x2?1，?x1?1?0，x2?1?0．

，即x1x2?(x1?x2)?1?0．

x1?x2??(m?1)，x1x2?m?2，

∴(m?2)?(m?1)?1?0．解得：m?1． ∴m的取值范围是m?1．

解法二：由题意知，当x?1时， y?1?(m?1)?(m?2)?0． 解得：m?1．

∴m的取值范围是m?1． 解法三：由（Ⅰ）的解法三、四知，x1??1，x2?2?m．

∴2?m?1 x1?1，x2?1，∴m?1．∴m的取值范围是m?1．

yyQ2O'DABOxC(0,2)QFP27PP1OQ1x （Ⅲ）存在．

2)，所以A，B两点在y轴的同侧， 解法一：因为过A，B两点的圆与y轴相切于点C(0，∴x1x2?0．

由切割线定理知，OC2?OAOB，

即22?x1x2．∴x1x2?4， ∴x1x2?4.∴m?2?4.?m?6．

解法二：连接O?B，O?C．圆心所在直线x??设直线x?

bm?11?m， ???2a221?m与x轴交于点D，圆心为O?， 21?m则O?D?OC?2，O?C?OD?．

2AB， AB?x2?x1?(m?3)2?m?3，BD?2m?3∴BD?

2在Rt△O?DB中， O?D2?DB2?O?B2．

?m?3??1?m?即2??????．解得 m?6．

?2??2?2（Ⅳ）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1?x12?1，y2?x2?1．

2220)Q(x2，0)． 则PP过P，Q分别向x轴引垂线，垂足分别为P1(x1，，1∥FO∥QQ1．

POPF所以由平行线分线段成比例定理知，1?．

OQ1FQ0?x11?，即x2??2x1． 因此，

x2?02过P，Q分别向y轴引垂线，垂足分别为P2(0，y1)，Q2(0，y2)，

PFFP则PP2∥QQ2．所以△FP2P∽△FQ2Q．?2?．

FQ2FQ2?21?2(x12?1)?x2?1.7?y11??．?21?2y1?y2． 22y2?72?23?2x1?4x1?1.?x12?4，?x1?2，或x1??2．

3)．直线l过P(2，，3)F(0，7)， 当x1?2时，点P(2，?7?k?0?b，?b?7， 解得? ??3?k?2?b.k??2.??3)．直线l过P(?2，，3)F(0，7)， 当x1??2时，点P(?2，?7?k?0?b，?b?7，

?? 解得?

k?2.3?k?(?2)?b.??故所求直线l的解析式为：y?2x?7，或y??2x?7．

【例2】 已知抛物线y?ax2?bx?c与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式

y??x?2并且线段CM的长为22 （1）求抛物线的解析式。

（2）设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。 （3）若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。

【解析】（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线y?ax2?bx?c．过点C（0,2），

?b4ac?b2?,所以c=2，抛物线y?ax?bx?c的顶点M???在直线CM上， 2a4a??4a?2?b2b所以??2，解得b?0或b??2

4a2a1??1若b?0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b??2．即M?,2??

a??a2过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在Rt?CMQ中，CM2?CQ2?QM2

111所以，8?()2?[2?(2?)]2，解得，a??。

aa211∴所求抛物线为：y??x2?2x?2或y?x2?2x?2以下同下。

22解法二：由题意得C(0,2),设点M的坐标为M(x,y)

y??x?2 ∵点M在直线y??x?2上，∴

由勾股定理得CM?x2?(y?2)2，∵CM?22 ∴x2?(y?2)2=22，即x2?(y?2)2?8 ?x1??2?x2?2?y??x?2解方程组?2，得，? ?2y?4y?0x?(y?2)?8??1?2M(?2,0)或M(2,0) ∴

当M(?2,4)时，设抛物线解析式为y?a(x?2)2?4，∵抛物线过(0,2)点，

11∴a??，∴y??x2?2x?2

22当M(2,0)时，设抛物线解析式为y?a(x?2)2

11∵抛物线过(0,2)点，∴a?，∴y?x2?2x?2

2211∴所求抛物线为：y??x2?2x?2 或y?x2?2x?2

22（2）∵抛物线与x轴有两个交点，

1∴y?x2?2x?2不合题意，舍去。

21∴抛物线应为：y??x2?2x?2

21抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴由?x2?2x?2?0，得

2AB?x1?x2?42 （3）∵AB是⊙N的直径，∴r =22 ， N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN = 4 设直线y??x?2与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴ ?MDN?45?，作NG⊥NG?DN?sin45??22= r CM于G，在Rt?NGD中，即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径．∴直线CM与⊙N相切

【例3】 已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A，抛物线y?ax2?bx?c经过O，

A两点． ⑴试用含a的代数式表示b； ⑵设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式； ⑶设点B是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得

4∠POA?∠OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

3yyPBxD'mOPDAxODAExOEAynDB【解析】⑴解法一：∵一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A

∴点A的坐标为(4，0) ∵抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 c?0，16a?4b?0，∴b??4a ∴

解法二：∵一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A ∴点A的坐标为(4，0)

∵抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点 ∴抛物线的对称轴为直线x?2

bb??4a ∴x???2，∴

2a⑵由抛物线的对称性可知，DO?DA ∴点O在⊙D上，且?DOA??DAO

又由(1)知抛物线的解析式为y?ax2?4ax

?4a) ∴点D的坐标为(2，①当a?0时，

如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA 所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D' ∴点D'与点D也关于x轴对称 ∵点O在⊙D'上，且OD与⊙D'相切 ∴点O为切点，∴D'O?OD ?DOA??D'OA?45? ∴

?ADO为等腰直角三角形，∴OD?22 ∴

?4a??2 ∴点D的纵坐标为?2，∴

1∴a?，b??4a??2

21∴抛物线的解析式为y?x2?2x

2②当a?0时，

同理可得：OD?22

1抛物线的解析式为y??x2?2x

2121x?2x或y??x2?2x 224⑶ 抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得∠POA?∠OBA

3设点P的坐标为(x,y)，且y?0

1①当点P在抛物线y?x2?2x上时(如图2)

2∵点B是⊙D的优弧上的一点

14∴∠OBA?∠ADO?45?，∴∠POA?∠OBA?60?

23EP过点P作PE?x轴于点E，∴， tan∠POE?OEy∴?tan60?，∴y?3x x?y?3x??x1?4?23?x2?0?，?由?解得：(舍去) ?12y?0??y?x?2x?y1?6?43?2?2综上，⊙D半径的长为22，抛物线的解析式为y?6?43 ∴点P的坐标为4?23，??1②当点P在抛物线y??x2?2x上时(如图3)，同理可得，y?3x

2?y?3x??x2?0??x1?4?23由?解得：(舍去) ，??12y?0y??x?2x???y1??6?43?2?2?6?43 ∴点P的坐标为4?23，6?43或4?23，?6?43 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为：4?23，??????点评：本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是：作出将劣弧沿x轴翻折后的弧所在圆⊙D'，并充分利用轴对称的性质．本题考点：1．直线与圆的位置关系(切线的性质)；2．轴对称；3．等腰直角三角形的性质，4．三角函数；5．二次函数解析式的确定．

【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，

AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t(秒)．

⑴当t?1时，得到P1、Q1两点，求经过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l； ⑵当t为何值时，直线PQ与⊙C相切？并写出此时点P和点Q的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NP?NQ最小，求出点N的坐标并说明理由．

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