平新乔十八讲答案第五讲

第五讲 风险规避?? 平新乔《微观经济学十八讲》答案 EatingNoodles 第五讲 风险规避、风险投资和跨期决策 1 一个农民认为在下一个播种的季节里，雨水不正常的可能性是一半对一半．他的预期效用函数的形式为 预期效用?12lnyNB?12lnyB 这里，yNB与yB分别代表农民在“正常降雨”与“多雨”情况下的收入． 1.1 假定农民一定要在两种如下表所示收入前景的谷物中进行选择的话，会种哪种谷物？ 谷物 小麦 谷子 yNB yB 28000元 19000元 10000元 15000元 解：种小麦和谷子的期望效用分别记为uw和ur，有 uw?12ln28000?12ln10000?9.725，同理可得ur?9.734； 有ur?uw，因此他会选择种谷子． 1.2 假定农民在他的土地上可以每种作物都播种一半的话，他还会选择这样做吗？请解释你的结论． 解：农民这样播种的效用记为u1，有 u1?12ln28000?190002?12ln10000?150002?9.7491； 因为u1?ur，因此他会选择这样做． 1.3 怎样组合小麦和谷子才可以给这个农民带来最大的效用？ 解：最大化问题是 max12ln[28000S?19000(1?S)]?12ln[10000S?15000(1?S)] S?[0,1]， 49其中S是小麦在组合中所占的比例．解得S?即，使小麦占49． ，谷子占59的组合能给他带来最大效用． 1 第五讲 风险规避?? 1.4 如果对于只种小麦的农民，有一种要花费4000元的保险，在种植季节多雨的情况下会赔付8000元，那么这种有关小麦种植的保险会如何改变农民的种植情况？ 解：考虑选择只种小麦并投保的农民的效用uwI， uwI?12ln(28000?4000)?12ln(10000?4000?8000)?9.816． 在1.3中，最佳比例的效用值约为9.7494，小于uwI．因此，这个保险会使农民都种小麦． 2 证明：如果一个人拥有初始财产w*，他面临一场赌博，赌博的奖金或罚金都为h．赌博的赢输概率都为0.5（公平赌博）．若这个人是风险厌恶型的，则他便不会参加该赌博． 证明：风险厌恶型意味着u(g)?u?E?g??，若g是题目中的赌局，即 u(g)?u?E?g???uw?? *也就说，w*?g，他不会参加该赌博． 3 当决定在一个非法的地点停车时，任何人都知道，会收到罚款通知单的可能性是P，并且罚金额为f．假定所有的个人都是风险厌恶型的，并且u??(w)?0，其中w是个人的财富． 被抓到的可能性按比例增加和罚金按比例增加在防止非法停车上谁更有效？（提示：运用泰勒级数展开式） 解：记w0为初始财富，显然效用函数u二阶可微，被罚款的效用可以写成 u?w0?f??u?w0??u??w0?f?u?????f22，???w0?f,w0?． 记被抓到的可能性按比例增加为g1，罚金按比例增加为g2；记m?1分别为被抓到的可能性增加的倍数和罚金增加的倍数．有 u?g1????mP2u??(?)2f2， 2u?g2????mPu??(?)2f，其中??u(w0)?mPu(w0)f； 根据条件，u??(?)?0，我们得到结果u?g1??u?g2?．罚金按比例增加在防止非法停车上更有效． 4 在固定收益率为r的资产上投资w美元，可以在两种状态时获得w(1?r)；而在风险资*产上的投资在好日子收益为w(1?rg)，在坏日子为w(1?rb)，其中rg?r?rb．通*过上述假定，风险资产上的投资就可以在状态偏好的框架中被加以研究． 4.1 请画出两种投资的结果． 2 第五讲 风险规避?? 4.2 请说明包含无风险资产与风险资产的“资产组合”这样可以在你的图中得到显5 示．你怎样说明投资在风险资产中的财富比例？ 4.3 请说明个人对于风险的态度会怎样的决定它们所持有的无风险资产与风险资产的组合．一个人会在什么情况下不持有风险资产？ 设题4中的资产收益要上交税收．请说明（用文字）： 5.1 5.2 5.3 为什么对财富按比例征税不会影响配置只在风险资产上的财富比例 假定只有从安全资产中获得的收益才按比例交税．这会怎样影响风险资产在财富中的比例？哪些投资者可能受这样一个税收的影响最大？ 如果所有的资产收益都要按比例交收入税，你对5.2的回答会怎样变化？ 4题和5题的答案在文件“第五讲 第四、五题”． 16 某消费者的效用函数为u(c0,c1)?c0c12．这里c0表示其在时期0的消费开支，c1表示其在时期1的消费开支．银行存贷利率相等且为r，该消费者在t?0期的收入为I0?60，在t?1的收入I1?100．问 6.1 如果r?0，他该储蓄还是借贷？ 解：他的财富现值为I0?I11?r?I0?I1?160，最大化问题是 maxu(c0,c1) c0,c1s.t. c0?c11?r ?160得，c0?3203，c1?1603． 因为c0?I0?0，因此，他该借贷． [注] 当第零期消费的价格是1的时候，第一期的价格是的最大化框架来方便理解和处理类似跨期问题． 6.2 如果r?1，他该储蓄还是借贷？ 解：最大化问题是 maxu(c0,c1)c0,c111?r，于是可以用前面 s.t. c0?c12?I0?I12 ?110得，c0?2203，c1?2203 因为c0?I0?0，因此，他还是该借贷． 7 一个人拥有固定财富w，并把它分配在两时期的消费中，个人的效用函数由u(c1,c2)给c21?r出，预算约束为w?c1?，这里r是单期利率． 3 第五讲 风险规避?? 7.1 证明如果个人在此预算约束下要最大化其效用，则它应当选择MRSc1与c2的组合． 1,2?1?r时证明：他的最大化问题是 maxu(c1,c2)c0,c1 s.t. c1?c21?r ?w一阶条件为 MU1?? 11?rMU2??? 其中，?为拉格朗日乘子． 由此得到MRS?c2?r1,2(c1,c2)?MUMU12?1?r．结论得证． 7.2 证明?0，但是?c1?r的符号不确定． 证明：借用斯勒茨基恒等式来分析．r的上升等价于第二期消费价格下降，其收入效应和替代效应均倾向增加第二期消费；但对第一期，收入效应倾向增加消费，替代效应倾向减少第一期消费，所以对第一期消费的影响不确定．具体来说 ?c2??h2?dp2?c2????c2???p?r?w2??dr 1其中h2是第二期消费的希克斯需求，p2??h2?p2?0，1?r为第二期的消费价格．在上式中，?c2?r?c2?w?0，dp2dr??1?1?r?2?0，所以?0．同样可以分析?c1?r． 题目应有一个关键假设使得结论成立，任何一期消费的收入效应为正．也许是因为在实际生活中，消费的收入效应很少为负，所以题目省略了这一点．在后面的．．．．解答中我仍认定消费的收入效应为正． ．．．．．．．．．．．．．．．．[注] 我原来的解答有问题． 8 一个人寿保险推销员说：“在你这个年纪购买一张100000美元终身寿险保单比一张定期保单要好得多．持有终身寿险保单，你只在前4年里每年支付2000美元，但在你生命的以后的日子里就无须支付了．一张定期保单每年需要你支付400美元，而且永远是这样．如果你再活35年，你只须对终身保单支付8000美元，但对定期保单则要支付14000美元，所以终身保单无疑是笔更好的交易． 假定推销员的寿命预期是正确的，你将如果评价他的论断？更确切地说，假定利率为10%，请计算两张保单的保费成本的贴现现值． 4 第五讲 风险规避?? 3解：记r?0.1，终身保单保费成本的现值为Cp?34?y?02000?1?r?y?6973.70．定期保单的现值C9 f??400yy?0?1?r??4243.43．Cp?Cf，显然定期保单更划算． 一个强行推销[hard seller?]汽车贷款的女推销员对一个刚刚购车的人说：“假定你用现金购买这辆10000美元的汽车，因为你用那笔钱可在银行获得10%的利率，所以三年内你将至少损失3000美元．另一方面，如果你要选择我们的低成本的汽车贷款购买10000美元的汽车，那么只需每月支付350美元持续36个月即可，总体上你只需为汽车支付12600?10000?2600美元的利息．因此，你通过这样融资就可以省钱．” 你是如何评价这一说法的？汽车贷款果真是低成本之举吗？ 解：仍通过现值计算．现金支付的现值?10000．年利率为10%，那么36个月连续支350付350美元的现值为?m?0??1?r?350m??11106．因此，这个推销员的建议是没有理由的． 10 某人计划花1万元去旅游，其旅游的效用函数为v(w)?lnw，这里w为其支出的价值量．如果他在旅途中丢失1000元的概率为25%，他如想为丢钱的损失买保险，且保险价是公平价，则他愿为这1000元损失支付的最高保险金为多少？ 解：保险公司的价格为公平价，即为购买R的保险，需要付出保费0.25R．因此他的期望效用为 Eu?w??0.25ln?10000?0.25R?1000?R??0.75ln?10000?0.25R? 他的问题是 0.25ln?10000?0.25R?1000?R??0.75ln?10000?0.25R??0.25ln9000?0.75ln10000解得 （这个不等式方程我实在解不出来） 说明一下：个人感觉本题的目的是考察风险规避和公平保险条件下的最优保险金额，但是提的问题感觉偏离了这个意图． 11 消费者的效用函数为u?c1,c2??c1c2，在第一期和第二期的收入分别为100元和1800.40.6元，利率为r． 求： 11.1 第一期和第二期的消费分别是多少？ 解：最大化问题是 maxu?c1,c2? s.t .c1?c21?r?100?1801?r 解得c1?40?721?r，c2?60?1?r??108． [注] 假定消费者能自由借贷． 5

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