声学基础-课后答案(6)

??uu?Bcosxcosut(??) ?xccuuu带入边界条件可得： ?TBcoslcos(ut??)??MBu2sinlcos(ut??)

cccuT 即 tanl?

cMcuuuTuTl?lMSl??? ltanl?

ccMcucMMc2M

（其中c?T?, 弦的质量为Ms，线密度为?）

Mu 令r?l，??S，则rtanr??，这就是弦作自由振动时的频率方程。

cM??3??42 （2）当Mm<

3?3?r?? 可简化为 ??则 rtan2?43??.求解这一代数方程，可得近似关系为

?2???1? ?

?????. 3?1?1?x?x2?x3?? (x2?1) 且?<<1 1?x1? ? ?1?

?31?3 则 r2???11??3?MS?M11?Ms? MsMs1?M?3M32?fnuTl，c?,Ms??l 又r?l?cc?则f0?1c?Ms?2?l1MM?s31M?＝

12?T?Ms??l21MM?s3

＝

12?T?Ms?lMsMs3＝

12?KmT （其中Km?） MlM?s32-7 长为l的棒一端固定一端自由，如果在初始时刻有沿棒的轴向力作用于自由端，使该端产生静位移ξ0，然后释放. 试求棒作纵振动时各次振动方式的位移振幅.

解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为

?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??).

由棒一端固定一端自由的边界条件得

??|x?0?0?????0??x?x?l(1)(2)

由(1)式?Acos(wt??)?0?A＝0.

1?由(2)式?kBcosklcos(wt??)?0?coskl?0?kn?(n?)2l(n?1,2,3,?).

由此各阶简正频率对应的位移表达式为

?n(t,x)?Bnsinknxcos(?nt??n).

棒的总位移为各简正频率位移之和，即?(t,x)??Bnsinknxcos(?nt??n).

n?1?棒的初始条件为

?0??|?x?t?0?l??????0???tt?0由(4)?sin?n?0??n?n?.

2l由(3)?Bncos(??n)???0(x)sinknxdx

l0l?2?0n2. ?Bn?(?1)??x?0sinknxdx???2l0l(n??)2(3)

(4)2-8 有一长1m、截面为1×10-4m2的铝棒( ρ=2.7×103kg/m3)，两端自由.

(1) 试求棒作纵振动时的基频，并指出在棒的哪一个位置位移振幅最小？

(2) 如果在一端负载着0.054kg的重物，试问棒的基频变为多少？位移振幅最小的位置变到何处？

解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为

?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??).

由棒两端自由的边界条件得

?????x????????x?0x?0(1)

?0(2)x?l由(1)式?Bkcos(wt??)?0?B＝0.

由(2)式?kAsinklcos(wt??)?0?sinkl?0?kn?n?l(n?1,2,3,?)

?fn??nkncnc??. 2?2?2lc16.85?1010(1) 棒作纵振动的基频为f1???2520Hz.

2l2?12.7?103该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1).

1l当cosk1x?0，即x?(n?)l时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x??0.5m

22的点位移振幅最小.

(2) 当在一端负载时，由(2-2-25)得k1=2.65.

该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1).

Mtankl??m??0.2，即tank??0.2k，利用数值方法可以求得klm1(n?)?2时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x1=0.59m当cosk1x?0，即x?2.65的点位移振幅最小.

2-9 有一长为l的棒一端固定一端有一质量负载Mm。 （1）试求棒作纵振动时的频率方程；

（2）如果棒的参数与2-8相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大？ 解：（1）棒的位移方程为

?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(wt??) 由边界条件得：

?(x?0)?0?A?0???ctgkl2Mm ????????ES()??M()x?lmx?l??m?kl?x?t2?故频率方程为：ctgkl?（2）将2-8参数代入得

Mmkl mctgkl?0.2kl,(Mm?0.2) m?ctgk?0.2k

由牛顿迭代法知： k1 =1.3138 则 f1?k1c?1.05?103（Hz） 2?基频振幅为：?1?Bsink1x,(0?x?1) 当x=1时，sink1x达到最大，即振幅最大。

2-10 试分别画出两端自由和两端固定的棒，作n=1,2模式的自由纵振动时，它们的位移振幅随位置x的分布图。

解：两端自由的棒：

两端固定的棒:

2-11 设有一长为l，两端自由的棒作纵振动。假设其初始时刻的位移分布为?0?x??cos度v0?x??0。求该棒振动位移表示式。

解：棒做纵振动时，其方程的解为：

?lx，初速

??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??)

???k(?Asinkx?Bcoskx)cos(?t??) ?x???x?0?0?B?0??x两端自由，即不受应力作用，?

??n?nc??fn?x?l?0?kl?n??kn?l2l??x所以，???Ancosknxcos(?n??n)

n?1?

??? v???Ancosknx[??nsin(?nt??n)]

?tn?12l???0(x)??Ancosknxcos(??n)?cosx?Ancos?n??cosxcosknxdx??ll0ln?1???v0(x)??Ancosknx(?nsin?n)?0?An?nsin?n?0?n?1?

?n?1?1,2l?n?xdx???Ancos?n??cosxcos??l0ll?0,n?2,3,????sin?n?0??n?n????即A1cos?1?1?A1??1,所以???cosAn?0,(n?2,3,???)

?lxcos(?clt??)

2-12 设有一端自由，一端固定的细棒在作纵振动，假设固定端取在坐标的原点，即x?0处，而自由端取在x?l处。试求该棒作自由振动时的简正频率，并与(2-2-20)式作一比较。 附：

fn?(2n?1)c (n?1,2,3,?)。 (2-2-20) 4l解：棒的振动位移表达式?(t,x)?(Ancosknx?Bnsinknx)cos(?t??) 边界条件：?x?0?0；

???tx?l?0，

代入位移表达式解得：An?0； kn?于是可推出

fn?(2n?1)c(n?1,2,3,?)。 4l2n?1?。 2l若将自由端置于原点，固定端置于x?l处，同样能得出与（2-2-20）相同的结论。 2-13 长为l的棒一端固定一端受沿棒轴方向的简谐力作用（F?Facos?t）。 （1）试求棒作纵振动时的位移表达式；

（2）证明当频率较低或棒较短时此棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为Km?解：棒纵振动位移的一般表达式为：??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??)

ES。 l??x?0?0?A?0?满足边界条件：?FA??cos?t

?ES()?Fcos?t?B???x?lA??xESkcosklcos(?t??)?

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