2004-2013年浙江立体几何汇编(理科)答案(2)

?????210设PA与平面PBC所成角为θ,刚sinθ=|cos(PA,n)|=.

30∴PA与平面PBC所成的角为arcsin

210. 30????221221a,a,h),∴OG=(?a,a,h). (Ⅲ)△PBC的重心G(?663663????????????????????12122a,?h),∴OC?PB?a?h?0, ∵OG⊥平面PBC,∴OC?PB,又PB?(0,263∴h=2a,∴PA=OA2?h2?a,即k=1,反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥. 2∴O为平面PBC内的射影为△PBC的重心.

2006年

（17）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.

(Ⅰ)求证：PB⊥DM;

(Ⅱ)求CD与平面ADMN所角的正弦值。

（17）本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。满分14分。 解：方法一：

（I）因为N是PB的中点，PA?PB， 所以AN?PB.

因为AD?平面PAB，所以 AD?PB，

从而PB?平面ADMN. 因为DM?平面ADMN， 所以PB?DM.

（II）取AD的中点G，连结BG、NG， 则BG//CD，

所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等.

因为PB?平面ADMN，

所以?BGN是BG与平面ADMN所成的角. 在Rt?BGN中，

sin?BNG?BN10?. BG510. 5故CD与平面ADMN所成的角是arcsin方法二：

如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A?xyz，设BC?1，则

1A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,1,0),M(1,,1),D(0,2,0).

2（I） 因为

?????????3PB?DM?(2,0,?2)?(1,?,1)

2?0，

所以PB?DM.

（II） 因为

????????PB?AD?(2,0,?2)?(0,2,0)

?0，

所以PB?AD， 又因为PB?DM， 所以PB?平面ADMN.

????????因此?PB,DC?的余角即是CD与平面ADMN所成的角.

因为

????????????????PB?DC????? cos?PB,DC?????|PB|?|DC|?10， 5所以CD与平面ADMN所成的角为arcsin10. 52007年

（6）若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（ B ）

Ａ．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行Ｂ．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 Ｃ．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交Ｄ．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面

（19）（本题14分）在如图所示的几何体中，EA?平面ABC，DB?平面ABC，

（I）求证：CM?EM； AC?BC，且AC?BC?BD?2AE，M是AB的中点．

（II）求CM与平面CDE所成的角．

本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．满分14分． 方法一：（I）证明：因为AC?BC，M是AB的中点，所以CM?AB． 又EA?平面ABC，所以CM?EM．

（II）解：过点M作MH?平面CDE，垂足是H，连结CH交延长交ED于点F，连结MF，MD．

∠FCM是直线CM和平面CDE所成的角．

因为MH?平面CDE，

所以MH?ED， 又因为CM?平面EDM， 所以CM?ED，

则ED?平面CMF，因此ED?MF．

设EA?a，BD?BC?AC?2a，

在直角梯形ABDE中，

AB?22a，M是AB的中点，所以DE?3a，EM?3a，MD?6a， 得△EMD是直角三角形，其中∠EMD?90，所以MF?在Rt△CMF中，tan∠FCM?的角是45．

??EM?MD?2a．

DEMF?1，所以∠FCM?45?，故CM与平面CDE所成MC2008年

（14）如图，已知球O点面上四点A、B、C、D， DA?平面ABC，AB?BC，DA=AB=BC=3， 则球O点体积等于___________。

9π 2解析：本小题主要考查球的内接几何体体积计算问题。其关键是找出 球心，从而确定球的半径。由题意，三角形DAC,三角形DBC都 是直角三角形，且有公共斜边。所以DC边的中点就是球心（到 D、A、C、B四点距离相等），所以球的半径就是线段DC长度的一半。 （18）（本题14分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直， BE//CF，?BCF=?CEF=90?,AD=3,EF=2。

（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；

（Ⅱ）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60?？ 18．本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等 基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．

DABFEC方法一：

（Ⅰ）证明：过点E作EG?CF交CF于G，连结DG， 可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形，

∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形， 所以AD D A B E C G F

故AE∥DG．因为AE?平面DCF，DG?平面DCF，

H 所以AE∥平面DCF．

（Ⅱ）解：过点B作BH?EF交FE的延长线于H，连结AH． 由平面ABCD?平面BEFC，AB?BC，得AB?平面BEFC， 从而AH?EF．所以?AHB为二面角A?EF?C的平面角．

在Rt△EFG中，因为EG?AD?3，EF?2，所以?CFE?60?，FG?1． 又因为CE?EF，所以CF?4， 从而BE?CG?3．

z D A x B E C F y 33sin?BEH?于是BH?BE?．

2因为AB?BH?tan?AHB，

9?所以当AB为时，二面角A?EF?C的大小为60．

2方法二：如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴， 建立空间直角坐标系C?xyz．设AB?a，BE?b，CF?c，

0，a)，B(3，0，0)，E(3，b，0)，F(0，c，则C(0，0，0)，A(3，0)． ?????????????a)，CB?(3，0，0)，BE?(0，b，0)， （Ⅰ）证明：AE?(0，b，????????????????CE?0，CB?BE?0，从而CB?AE，CB?BE， 所以CB?所以CB?平面ABE．因为CB?平面DCF，所以平面ABE∥平面DCF．

故AE∥平面DCF．

????????0)， （Ⅱ）解：因为EF?(?3，c?b，0)，CE?(3，b，????????????CE?0，|EF|?2，从而 所以EF????3?b(c?b)?0，3，0)，F(0，解得b?3，c?4．所以E(3，4，0)． ?2??3?(c?b)?2，????????设n?(1，y，z)与平面AEF垂直，则n?AE?0，n?EF?0，

????330，a)， 解得n?(1，3，)．又因为BA?平面BEFC，BA?(0，a????????|BA?n|33a19?BA?|??????，得到a?． 所以|cos?n，2|BA|?|n|a4a2?272所以当AB为

9?时，二面角A?EF?C的大小为60． 22009年

5．在三棱柱

ABC?A1B1C1BB1C1C?中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D是侧面

BB1C1C的中

心，则AD与平面

?所成角的大小是 ( )

??A．30 B．45 C．60 D．90 答案：C

【解析】取BC的中点E，则AE?面

BB1C1C?AE?DEBBCC，，因此AD与平面11所

?成角即为?ADE，设ABta?nADE?3?,?AD0．E? 60a，则

AE?32a，

DE?a2，即有

3cmcm12．若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是 ．

答案：18

【解析】该几何体是由二个长方体组成，下面体积为

1?3?3?9，上面的长方体体积为3?3?1?9，因此其

几何体的体积为18

20．（本题满分15分）如图，平面PAC?平面ABC，?ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，

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