2004-2013年浙江立体几何汇编(理科)答案

2004-2013年浙江省高考立体几何汇编（理科） 2004年

10.如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为?，则sin?=

106??(A) (B) (C) (D)

3444 1 CA1 B1 D 1． 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，C AF=1，M是线段EF的中点。 （1）求证AM//平面BDE；

（2）求二面角A?DF?B的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60?。 (19) (满分12分) 方法一

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

D ∴四边形AOEM是平行四边形， ∴AM∥OE。

∵OE?平面BDE， AM?平面BDE， ∴AM∥平面BDE。

(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS， ∵AB⊥AF， AB⊥AD， AD?AF?A, ∴AB⊥平面ADF，

∴AS是BS在平面ADF上的射影， 由三垂线定理得BS⊥DF。

∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。 在RtΔASB中，AS?∴tan?ASB?A E M F C B B A 6,AB?2, 33,?ASB?60?,

∴二面角A—DF—B的大小为60o。

（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD， ∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，AB?AF?A， ∴PQ⊥平面ABF，QE?平面ABF，

∴PQ⊥QF。

在RtΔPQF中，∠FPQ=60o， PF=2PQ。

∵ΔPAQ为等腰直角三角形， ∴PQ?2(2?t). 2又∵ΔPAF为直角三角形， ∴PF?(2?t)2?1，

2∴(2?t)?1?2?2(2?t). 2所以t=1或t=3(舍去) 即点P是AC的中点。 方法二

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。 设AC?BD?N，连接NE， 则点N、E的坐标分别是（

22,,0)、（0,0,1）, 22 ∴NE=(?22,?,1), 22 又点A、M的坐标分别是

0） （2，2，、（

22,,1) 22 ∴ AM=（?22,?,1) 22∴NE=AM且NE与AM不共线，

∴NE∥AM。

又∵NE?平面BDE， AM?平面BDE， ∴AM∥平面BDF。

（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF?AD?A, ∴AB⊥平面ADF。

∴AB?(?2,0,0)为平面DAF的法向量。

∵NE·DB=（?22(?2,2,0)=0， ,?,1)·

22∴NE·NF=（?22(2,2,0)=0得 ,?,1)·

22NE⊥DB，NE⊥NF，

∴NE为平面BDF的法向量。 ∴cos=1 2∴AB与NE的夹角是60o。

即所求二面角A—DF—B的大小是60o。 （Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得

PF?(2?t,2?t,1),

∴CD=（2，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60o。 ∴cos60??(2?t)?2(2?t)?(2?t)?1?222

解得t?232或t?（舍去）， 22即点P是AC的中点。

2005年

6．设?、? 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l??，m??，有如下的两个命题：

①若?∥?，则l∥m；②若l⊥m，则?⊥?．

那么

(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题 解：命题②有反例,如

图中平面α∩平面β=直线n,l??,m?? 且l∥n,m⊥n,则m⊥l,显然平面α不垂直平面β 故②是假命题；命题①显然也是假命题, 因此本题选(D)

12．设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为

D点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于

_________．

M

E A 解：如左图,在平面AED内作MQ∥AE交ED于Q,则MQ⊥ED,且Q为ED的中点,连结QN,则NQ⊥ED且QN∥EB,QN=EB,∠MQN为二面角A－DE－B的平面角, ∴∠MQN=45°∵AB⊥平面BCDE,又∠AEB=∠

111MQN=45°,MQ=AE=2EB,在平面MQN内作MP⊥BQ,得QP=MP=EB,

2221故PB=QP=EB,故QMN是以∠QMN为直角的等腰三角形,即MN⊥QM,也即

2MN子AE所成角大小等于90°

18．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；

1(Ⅱ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

2 (Ⅲ) 当k取何值时，O在平面PBC内的射影

P恰好为△PBC的重心？

CNBDAOC

B

解：解法一

(Ⅰ)∵O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA,又AC?平面PAB,∴OD∥平面PAB.

(Ⅱ)∵AB⊥BC,OA=OC,∴OA=OC=OB,又∵OP⊥平面ABC,∴PA=PB=PC.

取BC中点E,连结PE,则BC⊥平面POE,作OF⊥PE于F,连结DF,则OF⊥平面PBC

∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.

又OD∥PA,∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF. 在Rt△ODF中,sin∠ODF=

210OF210?,∴PA与平面PBC所成角为arcsin

30OD30(Ⅲ)由(Ⅱ)知,OF⊥平面PBC,∴F是O在平面PBC内的射影.

∵D是PC的中点,若F是△PBC的重心,则B、F、D三点共线,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD,∵OB⊥PC.∴PC⊥BD,∴PB=BC,即k=1..反之,,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥,∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心. 解法二：

∵OP⊥平面ABC,OA=OC,AB=BC,∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP.

以O为原点,射线OP为非负x轴,建立空间坐标系O-xyz如图),设AB=a,则A(

2a,0,0). 222a,0),C(-a,0,0).设OP=h,则P(0,0,h).

22B(0,

?????????????????2121???a,0,h),又PA?(a,0,?h),OD??PA,?OD(Ⅰ)∵D为PC的中点,∴OD?(?2222????∥PA,

∴OD∥平面PAB.

????2771a,∴PA?(a,0,?a),可求得平面PBC的法向量(Ⅱ)∵k=,则PA=2a,∴h=2222?1n?(1,?1,?),

7??????????PA?n210???∴cos(PA,n)????.

30|PA|?|n|

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