二次函数拔高综合题全集(含答案)

1、二次函数和等腰三角形：

(2008重庆)已知：如图，抛物线y?ax2?2ax?c(a?0)与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

．解：（1）由题意，得?YC?OBQDAX28题图 ?0?16a?8a?c， ···································································· （1分）

?4?c．1??a??，解得?················································································································ （2分） 2

??c?4．1······················································· （3分） ?所求抛物线的解析式为：y??x2?x?4． ·

20)，过点E作EG?x轴于点G． （2）设点Q的坐标为(m，由?12x?x?4?0，得x1??2，x2?4． 20)． ······························································································ （4分） ?点B的坐标为(?2，?AB?6，BQ?m?2．

QE∥AC，?△BQE∽△BAC．?即

EGBQ?， COBAEGm?22m?4?．?EG?． ············· （5分） 463?S△CQE?S△CBQ?S△EBQ

?11BQCO?BQEG 2212m?4???(m?2)?4?? 23??128??m2?m? ··························· （6分）

3331??(m?1)2?3．

3又?2≤m≤4，

······················································ （7分） 0)． ·?当m?1时，S△CQE有最大值3，此时Q(1，（3）存在．

在△ODF中． （ⅰ）若DO?DF，

A(4，，0)D(2，0)，?AD?OD?DF?2．

又在Rt△AOC中，OA?OC?4，??OAC?45．??DFA??OAC?45．

??ADF?90．此时，点F的坐标为(2，2)．

由?12x?x?4?2，得x1?1?5，x2?1?5． 2此时，点P的坐标为：P(1?5，················································ （8分） 2)或P(1?5，2)． ·（ⅱ）若FO?FD，过点F作FM?x轴于点M， 由等腰三角形的性质得：OM?1OD?1，?AM?3， 23)． ?在等腰直角△AMF中，MF?AM?3．?F(1，由?12x?x?4?3，得x1?1?3，x2?1?3． 2此时，点P的坐标为：P(1?3，················································· （9分） 3)或P(1?3，3)． ·（ⅲ）若OD?OF，

OA?OC?4，且?AOC?90，?AC?42，

?点O到AC的距离为22，而OF?OD?2?22，

此时，不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形． ······································ （10分） 综上所述，存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形．所求点P的坐标为：

P(1?5，2)或P(1?5，2)或P(1?3，3)或P(1?3，3)

2. 二次函数和矩形、等腰三角形：

如图19-1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正

半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA?5，OC?4．

D

x O A

图5-1 解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

?在Rt△ABE中，AE?AO?5，AB?4．

（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；

（2）如图19-2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t秒（0?t?5），过P点作ED的平行线交AD于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标．

y y E E C C B B N D M O 图5-2 A P x ?BE?AE2?AB2?52?42?3．?CE?2．

?E点坐标为（2，4）． ·································································································· 2分

在Rt△DCE中，DC?CE?DE， 又

222DE?OD．

?(4?OD)2?22?OD2 ． 解得：CD?5． 2?5??D点坐标为?0，? ······································································································· 3分

2??PM∥ED，?△APM∽△AED．

5PMAP??，又知AP?t，ED?，AE?5

2EDAEt5t?PM???， 又PE?5?t．

522而显然四边形PMNE为矩形．

t15?S矩形PMNE?PMPE??(5?t)??t2?t ························································· 5分

222（2）如图①

?S四边形PMNE51?5?25???t???，又0??5

22?2?82525时，S矩形PMNE有最大值． ········································································ 6分 28y （3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME?MA（如图①） E B 在Rt△AED中，ME?MA，PM?AE，?P为AE的中点， C N 15P D ?t?AP?AE?．

M 22?当t?O

F 图① A x

又PM∥ED，?M为AD的中点．

过点M作MF?OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线，

1515?MF?OD?，OF?OA?，

2422?当t?55???55?时，?0??5?，△AME为等腰三角形．此时M点坐标为?，?． · 8分 2224????（ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM?AE?5（如图②）

5?5?2225． 在Rt△AOD中，AD?OD?AO????5?22??过点M作MF?OA，垂足为F．

PM∥ED，?△APM∽△AED．

2y C N D M O F 图② A x E P B APAM?． AEAD1AMAE5?5?t?AP???25，?PM?t?5．

52AD52??MF?MP?5，OF?OA?AF?OA?AP?5?25，

（0?25?5），此时M点坐标为(5?25，5)． ····················· 11分 ?当t?25时，综合（i）（ii）可知，t?5或t?25时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，2相应M点的坐标为?，?或(5?25，5)．

3、二次函数和梯形：

（2009临沂）如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。

⑴求抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由;

⑶若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

AOB第26题图 ?55??24?yCDMPx⑴∵抛物线与y轴交于点C（0，3），

∴设抛物线解析式为y?ax2?bx?3(a?0)………………………………1分 根据题意，得??a?b?3?0,?a??1,，解得?

?9a?3b?3?0,?b?2.∴抛物线的解析式为y??x2?2x?3………………………………………2分 ⑵存在。…………………………………………………………………………3分 由y??x2?2x?3得，D点坐标为（1，4），对称轴为x＝1。…………4分 ①若以CD为底边，则PD＝PC，设P点坐标为(x,y)，根据勾股定理，

得x2?(3?y)2?(x?1)2?(4?y)2，即y＝4－x。…………………………5分 又P点(x,y)在抛物线上，∴4?x??x?2x?3，即x?3x?1?0…………6分 解得x?223?53?53?5，。……………………7分 ?1，应舍去。∴x?222?3?55?5?5?5?。……………………8分 ,∴y?4?x?，即点P坐标为??2?2?2?②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点

C关于直线x＝1对称，此时点P坐标为（2，3）。

?3?55?5??∴符合条件的点P坐标为?。……………………9分

?2,2?或（2，3）??⑶由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理,

得CB＝32,CD＝2,BD＝25,………………………………………………10分 ∴CB?CD?BD?20,

∴∠BCD＝90°,………………………………………………………………………11分

设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，

∵CF＝DF＝1, ∴∠CDF＝45°,

由抛物线对称性可知，∠CDM＝2×45°＝90°,点坐标M为（2，3）， ∴DM∥BC,

∴四边形BCDM为直角梯形, ………………………………………………………12分 由∠BCD＝90°及题意可知，

以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况; 以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上

y的直角梯形均不存在。 D综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，CMF

222PAOE Bx

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