3.2.1几类不同增长的函数模型(二)——几种函数增长快慢的比较

3.2.1几类不同增长的函数模型（二）——几种函数增长快慢的

比较

学习目标:

①结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.

②学会借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函

数的增长差异.

③能恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实

际问题.

④通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.

教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数

模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．

教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题

一、合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.

观察函数情况.

在同一坐标中函数图象如下 师生合作观察研究函数y①x∈(0，16)时，y?可知y?xx?x4与y?xy?x4与y?x在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢

y y?x4的增长快慢.

x4y x?x4的图象在y?图象上方，

y?O 16 x x增长

x②x?(16,??)时，y?的图在y?x42

图象下方，x?x4 可知y?x4增长

二、幂函数、指数函数、对函数增长快慢形成比较方法. 1．实例探究：比较函数y=2，y= x，y = log2x的增长快慢. 方法：①作图，列表比较、验证．

②应用二分法求2x = x2的根，即y = 2x与y = x2的交点横坐标为 ．

观察： log2x

x?2?x成立的x的取值：

2xx2 log2?x?2成立的x的取值 ： 2．规律总结

①对于指数函数y=ax(a＞1)和幂函数y=xn(n＞0)，在区间(0,??)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a会小于x，但由于a的增长快于x的增长，

因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a＞x.

n

②对于对数函数y=logax(a＞1)和幂函数y = x(n＞0)在区间(0,??)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢.在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，

x

n

x

n

x

n

因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜x.

③在区间(0,??)上，尽管函数y = ax(a＞1)，y = logax(a＞1)和y = xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增长，y = ax(a＞1)的增长速

n

度越来越快，会超过并远远大于y = x(n＞0)的增长速度，而y = logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢.

因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就有logax＜x＜a.

三、举例分析

例1 同一坐标系中，函数y=x+7和y=2的图象如图.试比较x+7与2的大小.

例2 已知函数y=x2和y=log2(x+1)的图象如图，试比较x2与log2(x+1)的大小.

四、练习

1．下列说法不正确的是（ ）

A．函数y=2x在（0，+∞）上是增函数 B．函数y=x2在（0，+∞）上是增函数 C．存在x0，当x＞x0时，x2＞2x恒成立 D．存在x0，当x＞x0时，2x＞x2恒成立 2．函数y = logax（a＞1）、y = b（b＞1）和y = x（c＞0）中增长速度最快的是（ ）

A．y = logax（a＞1） B．y = bx（b＞1） C．y = xc（c＞0）

D．无法确定

x

c

2

x

2

x

n

x

n

3．已知幂函数y=x1.4、指数y=2x和对数函数y=lnx的图象.如图，则A表示函数互换 的图象，B表示函数 的图象，C表示函数 的图象.

4．（P101练习）在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况： （1）y?0.1e?100,x?[1,10] （2）y?20lnx?100,x?[1,10] （3）y?20x,x?[1,10]

x五、课堂小结：1．幂函数、指数函数、对函数增长快慢的差异；

2．会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.

六、作业：

1 函数y?x3（ ）

A 是奇函数，且在R上是单调增函数 B 是奇函数，且在R上是单调减函数

C 是偶函数，且在R上是单调增函数 D 是偶函数，且在R上是单调减函数

2．比较函数y = x（n＞0）和y = a（a＞0），下列说法正确的是（ ）

A．函数y = xn比y=ax的增长速度快 B．函数y = xn比y=ax的增长速度慢 C．因a，n没有大小确定，故无法比较函数y = xn与y = ax的增长速度

D．以上都不正确

3.某厂原来月产量为a，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b，则（ ）

A a=b B a>b C a

nx

七、本节学习小结：