天津理工大学复变复习题解(留)

课后习题参考解答

第一部分 复变涵数 课后习题一 1、解（1）虚部Im?z???2z?13?2i3?2i32实部Re?z??3,????i,133?2i?3?2i??3?2i?9?413132

13321322 ?3??2?z??i,z????????,tan???,argz??arctan13131333?13??13? ?2?z?1?3i??i?3i?1?i???i?3i?3??i?3?3i?3?5i.

i1?i?1?i??1?i?2222235Re?z??,Im?z???,22359251?3??5?z??i,z??????????34. 22442?2??2?argz??arctan5

3225tan???,3 2、解 ?1??1?cos??isin??ei?

i????? z?1?i3,r?z?12??3?2?2,tan??3,argz?,z?2?cos?isin??2e3

?3?33? 3、解 ?1??3?i?5,记z?3?i,z?????????z?2?cos????isin????,?6????6???5???5??25?cos????isin???6??6??3?2???1??2,tan??2?13??53?,argz?? 36?3?i?5????????????2?cos????isin??????6??? ???6??31?????????32?????163?16i22???? ?2?6?1?6cos??isin??cos??2k?6?isin??2k?6,k?0,1,?,5

3?3???31;

?isin?i; k?0,w0?cos?isin??ik?1w1?cos6666225?5?31;7?7?31

k?2,w2?cos?isin???ik?3,w0?cos?isin???i6622662211?11?31 9?9??isin??ik?4,w0?cos?isin??i;k?5,w5?cos666622??2k???2k??，k=0,1, 2 4、解?1?x3?8?0,x3??8,x?3?8?38?cos??isin???2??isin?cos??33?????3?3??k?0时,w0?2?cos?isin??1?3i;k?1时,w1?2??cos?isin???2

33?33???5?5??k?2时,w1?2?cos?isin33????1?3i ?3 ?2?微分方程y????8y?0的特征方程为??8?0，由上题的结果知

此特征方程的根为?1??2,?2?1?3i,?3?1?3i。故微分方程y????8y?0的通解为

y?c1e?2??exc2cos3x?c3sin3x.

5、不等式?1?argz??1??确定的区域为由射线

?? 39

???1及???1??构成的角区域，不

内。即为一半平面。是无界的单连通区域。 （2）设z?x?iy，不等式

包括两射线在

如图所示。

z?1?4z?1即

?x?1?2?y2?4?x?1?2?y，两边平方得，

?x?1?2?y2?16?x?1?2?y2

x2?2x?1?y2?16x2?32x?16y2?16,2215x2?34x?15y2??15

17??8?。此不等式所确定的区 经配方得?2?x???y????15??15?域为中心在z??17半泾为8的圆的外部区域（不包括圆周在内）是无界的多连通的。如图所示。

1515 （3）设z?x?iy,代入不等式z?2?z?2?6得

?x?2?2?y2??x?2?2?y2?6,移项得

?x?2?2?y2??6??x?2?2?y2

两边平方得?x?2?2?y2?36??x?2?2?y2?12x2?4x?4?y2?36?x2?5x?4?y2?1212?x?2?2?y2

?x?2?2?y2

?9?2x,两边平方得

?x?2?2?y22?36?8x,3?x?2?2?y2

9?x?2??y2?81?4x2?36x,??9x2?36x?36?9y2?81?4x2?36x

5x?9y?45,22x2y2??1 95x2y2??1及其围成95所以此不等式所确定的区域为椭圆。的区域，有界单连通区域。如图所示。

（4）设z=x+iy Rez2?Rex2?y2?2xyi?x2?y2, x2?y2<1所确定的区域为等轴双曲线x2?y2?1两支之

40

????间的部分。

6、解（1）z?acost?ibsint,x?acost,y?bsint,则

xy。即椭圆?x??y?cost?,sint?,cos2t?sin2t???????1a2ab?a??b?22x2y2?2?1 b ?2?z?t?,it令x?t,y?,xy?1，即映射成等轴双曲线xy?1。

x?iyx?iyx?y?2?2?i222?x?iy??x?iy?x?yx?yx?y21t 7、解 记z=x+iyw?1?1?zx?iy

?1?y?x,w?x?iy?1?i1,u?x,y???v?x,y??1

2x2x2x22y22x即直线y=x映射成直线u= —v。 ?2??x?1??y2?1,2x2?2x?1?y2?1,x2?y2?2x

w?xyxy即映射成直线u=1..

?i??i,22xx2?y2x2?y22xz?z0 8、证明定理三 证 由定理一可知limf?z??f?z0??u?x0,y.0??iv?x.,y0? 的充要条件为limu?x,y??u?x0,y0?， limv?x,y??v?x0,y0?

x?x0y?y0x?x0y?y0再根据复变函数与二元实变量连续的定义可知，定理三成立。

9、证 因为f?z?在z0连续，则limf?z??f?z0??0。故f?z??0取

z?z0??f?z2?，由极限定义可知，必存在一正数?????0使得当0?z?zf?z??f?z0??f?z0?20?????

f?z0?2时有

?，由不等式

f?z0?2f?z??f?z0??f?z??f?z0??可得

f?z0?2?f?z??f?z0?? 从而 0?f?z0??f?z??3f?z0?

22于是，在邻域z?z0????? 内f?z??0。 10、证 f?z??z?x?iy,u?x,y??x,v?x,y???y。因为

u?x,y??x,v?x,y?在全平面处处连续，故由定理三可知，f?z??z在复平面处处连续。

课后习题二 1、 解 f?z??1，由导数定义知

z??z11?2f?z??z??f?z??11f??z??lim?limz??zz?limz?z?z?lim2??2?z?0?z?0?z?0?z?0z?z?z?z?z?zz

2、解 ?1?f?z??x2?iy,u?x,y??x2,v?x,y???y

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?u?2x,?x?u?0,?y?v?0,?x?u?v?u?v?v，成立，要使成立只要2x?1，?????1?y?x?x?y?y11x??,故在直线z?上函数可导。而在复平面上处处不解析。

22

?2?f?z??2x3?3y2i,u?x,y??2x3,v?x,y??3y3

?u?u?v?v?u?v成立，只要 ?6x2,???0,?9y2要使??x?y?x?y?x?y6x2?9y2,即2x??3y，故此函数只在直线2x??3y上可导，但在复平面上处处

不解析。

3、解 ?1?f?z???z?1?5,f??z??5?z?1?4,故f?z?在复平面上处处解析。 ?2??1,2z?1f??z???2z?z2?1?2,z2?1?0,z??1,故除了点

z??1外，此函数在复平面内处处解析。

4、解 f?z??z?1,zz2?1??由zz2?1=0得z?0,z??1,故

??f?z?的奇点为0,?1。

5、解 因为f?z??my3?nx2y?ix3?lxy2,为解析函数

??u?x,y??my3?nx2y,v?x,y??x3?lxy2?u?u?v?v?2nxy,?3my2?nx2,?3x2?ly2,?2lxy. ?x?y?x?y，

由于柯西－黎曼方程成立，故

?2nxy?2lxy?2222?3my?nx??3x?ly?1?，由于对任薏的x,y值两等式成立，故 ?2?由（1）知n=l,由（2）知3m=-l,n=--3, 故n=l=-3。

6、解 ?1?sinz?sin?x?iy??sinxchy?icosxshy?0，于是

?sinxchy?0??cosxshy?0?1? ?2?因为chy?0，由（1）式得sinx?0?z?k??k?0,?1,?2,?? 代入（2）得cosk?shy?0

cosk???1,?k?0,?1,?2,??,shy?0?y?0。

?2?1?ez

?0?ez??1,zk?Ln??1??ln1?i?arg??1??2k????2k?1??i

42

（k?0,?1,?2,?）

??7、?1?Ln??i??ln?i?i?arg??i??2k???0?i???2k??

?2?1?=??2k???i?k?0,?1,2,?? ?2???4? ?2?Ln??3?4i??ln?3?4i?i?arg??3?4i???ln5?i?arctan????2k?? ???3??4???ln5?i???arctan?2k??3???k?0,?1,?2,??

???????? ?3?e1?i2?e?e?i2?e?cos???isin???????e?0?i???ie ?22???????4?3i

?eiLn3?ei?ln3?i?arg3?2k????eiln3?6k??e?2k??cosln3?isinln3?

?5??1?i?i?ei?1?i??ei?ln1?i?i?ar?g1?i??2k???

?e???iln2???2k???4??e??????2k???4??cosln2?isinln2 ?e???????2k??4??ln2ln2? ??isin?cos?22??z?z8、?1?因为shz?0,故e?e?0,ez?e?z,e2z?1,

22z=Ln??1??ln?1?i?arg??1??2k????2k?1??i

1??z??k???i2???k?0,?1,?2,??

ew?e?w9、设z?shw?,2z?ew?e?w2zew?e2w?1,

2e2w?2zew?1?0,记y?ew,得二元一次方程y2?2zy?1?0

2z?4z2?4其根为y=?z?z2?1,即ew?z?z2?1,取对数得

2w?Lnz?z2?1

课后习题三

1、 解 （1）先写出直线段的参数方程，显然其直角坐标方程为y?1x,令y?t,则x?3t,直

3线段的参数方程为 ?x?3t0?t?1,z?t??3t?it,z??t??3?i ??y?t?? 由积分算法2得

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