2012年北京中考二模数学图形操作型问题汇编

2012年北京中考二模数学图形操作型问题汇编 1．(海淀)阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

我们定义: 如果一个图形绕着某定点旋转一定的角度? (0?

BDOECBFADOECAF 图1 图2

小明利用旋转解决了这个问题，图2中阴影部分所示的图形即是与△ABC面积相等的新的旋转对称图形. 请你参考小明同学解决问题的方法，利用图形变换解决下列问题： 如图3，在等边△ABC中, E1、E2、E3分别为AB、 BC、CA 的中点，P 1、P2, M 1、M2, N1、N2分别为 AB、BC、CA的三等分点.

（1）在图3中画出一个和△ABC面积相等的新的旋转 对称图形，并用阴影表示（保留画图痕迹）；

（2）若△ABC的面积为a，则图3中△FGH的面积为 ．

2. （西城）阅读下列材料

小华在学习中发现如下结论：

如图1，点A，A1，A2在直线l上，当直线l∥BC时，

B P2 P1 E1 A N2 E3 H N1

C

F G M1 M2 E2

图3

S?ABC?S?A1BC?S?A2BC.

请你参考小华的学习经验画图(保留画图痕迹）：

(1)如图2，已知△ABC，画出一个等腰△DBC，使其面积与△ABC面积相等； ．．

图1 (2)如图3，已知△ABC，画出两个)； ．．Rt△DBC，使其面积与△ABC面积相等(要求：所画的两个三角形不全等．．． (3)如图4，已知等腰△ABC中，AB=AC，画出一个四边形ABDE，使其面积与△ABC面积相等，且一组对边DE=AB，．．

另一组对边BD≠AE，对角∠E=∠B.

图2 图3 图4

3．（石景山）阅读下面材料：

小阳遇到这样一个问题：如图（1），O为等边△ABC内部一点，且OA:OB:OC?1:2:3，求?AOB的度数. B（C）B D O'OO AC B

AACC

图⑴ 图⑵ 图⑶

小阳是这样思考的：图（1）中有一个等边三角形，若将图形中一部分绕着等边三角形的某个顶点旋转60°，会得到新的等边三角形，且能达到转移线段的目的.他的作法是：如图（2），把△ACO绕点A逆时针旋转60°，使点C与点B重合，得到△ABO?，连结OO?. 则△AOO?是等边三角形，故OO??OA，至此，通过旋转将线段OA、OB、OC转移到同一个三角形OO?B中. （1）请你回答：?AOB??. （2）参考小阳思考问题的方法，解决下列问题： 已知：如图（3），四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=60°，∠DCB=30°，AC=5，CD=4.求四边形ABCD的面积. 解：

4．（昌平）类比学习：

有这样一个命题：设x、y、z都是小于1的正数，求证：x（1-y）+ y（1-z）+ z（1-x）＜1．

小明同学是这样证明的：如图，作边长为1的正三角形ABC，并分别在其边上截取AD=x，BE=z，CF=y，设△

ADF、△CEF和△BDE的面积分别为S1、S2、S3， 则 S1?1（x1-y）sin60o， 21S2?（y1-z）sin60o，

21S3?（z1-x）sin60o．

2xA由 S1+S2+S3＜S?ABC，

HS11-yDF1-xS3S2yCBzE1-z得

1113（x1-y）sin60o+（y1-z）sin60o+（z1-x）sin60o＜． 2224所以 x（1-y）+ y（1-z）+ z（1-x）＜1． 类比实践：

已知正数a、b、c、d，x、y、z、t满足a?x=b?y=c?z=d?t=k． 求证：ay＋bz＋ct＋dx＜2k．

2

6．（怀柔）阅读下面材料：

在数学课上，李老师给同学们提出两个问题：

①“谁能将下面的任意三角形分割后，再拼成一个矩形”；

②“谁能将下面的任意四边形分割后，再拼成一个平行四边形”.

. 经过小组同学动手合作，第3组的小亮同学向大家展示了他们组的分割方法与拼接方案，如图1和图2所示；

请你参考小亮同学的做法,解决下列问题： （1）“请你将图3再设计一种分割方法，沿分割线剪开后所得的几块图形恰好也能拼成一个矩形”； （2）“请你设计一种方法，将图4分割后，再拼成一个矩形”.

图3 图4 7.（门头沟） 数学课上，同学们探究发现：如图1，顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形. 并且对其进行了证明. （1）证明后，小乔又发现：下面两个等腰三角形如图2、图3也具有这种特性．请你在 图2、图3中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数； A 36?45?45?图 236?图 336? 图 1C（2）接着，小乔又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可以把它分成两个小等腰三角形．请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出此三角形的各内角的度数．（说明：要求画出的既不是等腰三角形，也不是直角三角形．）

8．（密云）定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，．．．

PH?PJ，PI?PG，则点P就是四边形ABCD的准内点．

（1）如图2，?AFD与?DEC的角平分线FP,EP相交于点P． 求证：点P是四边形ABCD的准内点．

（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）．

9．（平谷）如图，在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形．如图中的△ABC称为格点△ABC．

，D两点的坐标分别是(11)，和(0，?1)，请你在方格纸中建立平面直角坐 （1）如果A标系，并直接写出点B，点C的坐标；

（2））把“格点△ABC图案”向右平移10个单位长度，再向上平移5个单位长度，以点

P(11，4)为旋转中心旋转180?，请你在方格纸中画出变换后的图案．

10．（顺义）阅读下列材料：

问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PA∶PB∶PC=1∶2∶3，求∠APB的度数．

小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将△BCP绕点B顺时针旋转90°得到△BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决．

请你回答：图2中∠APB的度数为 ． 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：

如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知∠APB=115°，∠BPC=125°．

（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； （2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 ．

ADPADPAECBCBBPC

图1 图2 图3

11. (延庆)阅读下面材料：

阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值。

ABCA'BACP图1P图2小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP

'逆时针旋转60°得到△A’BC,连接AA,当点A落在AC上时,此题可解（如图2）．

'请你回答：AP的最大值是 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4,P为△ABC内部一点， 则AP+BP+CP的最小值是 .（结果可以不化简）

APB图3C

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