角平分线、垂直平分线.培优六

角平分线、垂直平分线培优六

基础回顾

例1 已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，P是AD

上任一点．求证：PE=PF．

例2 如图，在平面直角坐标系中，AF、BE为角平分线，MN⊥AF交y轴于N点． (1)求∠AME； (2)求证：AM=MN；

(3)连FG，问FG与AB的位置关系并证明，

1

练习

如图，A（-1，0），B（0，3），∠AB0=30°，∠OAB的角平分线与OB的垂直平分线相交于P点． (1)求P点的坐标；

(2)作∠ABO的平分线交AP于M，判断△PBM的形状．

方法运用

例4 如图，已知直线MN与MN同侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA+PB

最短，并说明理由.

B

·

A ·

M N

如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使PA-PB最长，

并说明理由.

A ·

M N

·B

2

练习

3．已知，如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB= 90°．D是BC上一点，CD=2，BD=BE，∠DBE=90°，连接CE，交AB于M，且CE=6．在AB上找一点P，使△PCD周长最小，并求出这个最小值．

问题探究

1、已知：△ACB为等腰直角三角形，点P在BC上，以AP为边长作正方形APEF. (1)如图①，当点P在BC上时，求∠EBP；

(2)如图②，当点P在BC的延长线上时，求∠EBP.

图① 图②

3

2、如图，A（-4，O），B(O，4)，AE⊥BE，∠OAE=22.5°． (1)求证：BD=2AE；

(2)若∠AP0=45°，问PA与PB有何位置关系．

图① 图②

3、如图，△ACO为等腰直角三角形． (1)如图①，C(-1，3)，求A点坐标；

(2)如图②，过A点作AE⊥AC，若∠EFO=∠CFO，求∠EOF的大小；

(3)如图③，当△ACO绕O点旋转时，过C点作CN⊥y轴，M为AO的中点，问

∠MNO大小是否发生变化？

图①

图②

图③

4

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