兰州大学运筹学——线性规划在管理中的应用 课后习题题解(7)

$R$18 $R$19 $R$20 $R$21 $R$22

实际值 实际值 实际值 实际值 实际值

5 10 11 6 6

0 4 12 0 0

5 10 11 6 6

1 1 0 5 0

0 5 1 0 0

2、这时付给临时工的工资总额为332 元，一共需要安排83个临时工的班次。 根据剩余变量的数字分析可知，可以让10 时安排的8 个人中留3人工作3 小时，就可以将13-14时多余的3个工时省下来；同时17 时安排的4个人工作3 小时，也可将20时的4个工时省下来使得总成本更小。这时只有12-13时间段剩余1人，其它时间段都没有剩余的人员，所以总的班次只用76个，总费用将是76×4=304元。

3、设在10：00-11：00 这段时间内有x1 个班是3 小时，x2个班是4 小时； 设在11：00-12：00 这段时间内有x3个班是3 小时，x4个班是4 小时； 其他时段也类似。即：

3小时 4小时 10点 x1 x2 11点 x3 x4 12点 x5 x6 13点 x7 x8 14点 x9 x10 15点 x11 x12 16点 x13 x14 17点 x15 x16 18点 x17 x18 19点 x19 x20

20点 x21 x22 21点 x23 x22

则：快餐店需要支付的最少工资关系：：

min z =12（x1+x3+x5+x7+x9+x11+x13+x15+x17+x19）+8x21+4x23 + 16（x2+x4+x6+x8+x10+x12+x14+x16+x18）+12x20+8x22+4x24 每班能安排人数和所需人数的关系：

S．T x1＋x2 ＋1 ≥ 9 x1＋x2 ＋x3＋x4 ＋1 ≥ 10

x1＋x2＋x3 ＋x4＋x5＋x6 ＋1 ≥ 10 x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8 ＋2 ≥ 9

x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10 ＋1 ≥ 3

x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12 ＋2 ≥ 3 x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14 ＋2 ≥ 3 x10＋x11＋x12＋x13＋x14＋x15＋x16 ＋1 ≥ 6 x12＋x13＋x14＋x15＋x16＋x17＋x18 ＋2 ≥ 12

x14＋x15＋x16＋x17＋x18＋x19＋x20 ＋1 ≥ 12

x16＋x17＋x18＋x19＋x20＋x21＋x22 ＋1 ≥ 7 x18＋x19＋x20＋x21＋x22＋x23＋x24 ＋1 ≥ 7

xi ≥0 i=1,2,…,24

即可得线性规划数学模型：

min z =12x1+12x3+12x5+12x7+12x9+12x11+12x13+12x15+12x17+12x19+8x21+4x23 + 16x2+16x4+16x6+16x8+16x10+16x12+16x14+16x16+16x18+12x20+8x22+4x24 S．T x1＋x2 ≥ 8 x1＋x2 ＋x3＋x4 ≥ 9

x1＋x2＋x3 ＋x4＋x5＋x6 ≥ 9 x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8 ≥7

x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10 ≥ 2

x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12 ≥ 1 x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14 ≥ 1 x10＋x11＋x12＋x13＋x14＋x15＋x16 ≥ 5 x12＋x13＋x14＋x15＋x16＋x17＋x18 ≥ 10

x14＋x15＋x16＋x17＋x18＋x19＋x20 ≥11

x16＋x17＋x18＋x19＋x20＋x21＋x22 ≥6 x18＋x19＋x20＋x21＋x22＋x23＋x24 ≥ 6

xi ≥0 i=1,2,…,24

将该模型代入到线性规划求解模板得结果：

其解为：在满足对职工需求的条件下，

10 时安排8 个临时工，其中3个3小时的，5个4小时的； 11 时新安排1个4小时的临时工； 13 时新安排1个3小时的临时工； 16 时新安排1个4小时的临时工； 17 时新安排4个3小时的临时工； 18 时新安排5个4小时的临时工； 19 时新安排1个3小时临时工。

全天共安排21个临时工，可使临时工的总成本最小为300元。 如下表所示： 时间段 10:00-11:00 11:00-12:00 12:00-13:00 所需临时工 4小时班人数 3小时班人数 实际上班人数 剩余人数 8 9 9 5 1 0 3 0 0 8 9 9 0 0 0 13:00-14:00 14:00-15:00 15:00-16:00 16:00-17:00 17:00-18:00 18:00-19:00 19:00-20:00 20:00-21:00 21:00-22:00 合计 7 2 1 1 5 10 11 6 6 75 0 0 0 1 0 5 0 0 0 12 1 0 0 0 4 0 1 0 0 9 7 2 1 1 5 10 11 6 6 75 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 这样能比第一种方案节省：332-300=32 元。 灵敏度分析报告：

可变单元格 单元格 $C$34 $D$34 $E$34 $F$34 $G$34 $H$34 $I$34 $J$34 $K$34 $L$34 $M$34 $N$34 $O$34 $P$34 $Q$34 $R$34 $S$34 $T$34 $U$34 $V$34 $W$34 $X$34 $Y$34 $Z$34 约束 单元格

名字 最优解 x2 x4 x6 x8 x10 x12 x14 x16 x18 x19 x20 x21 x22 x23 名字

终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量

3 5 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 4 0 0 5 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 16 12 12 8 8 4 4

0 0 0 0 1E+30

0 0 1E+30 1E+30

0 1E+30 1E+30 1E+30

0 0 0 1E+30

0 0 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30 1E+30

0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0

终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量

8 9

4 4

8 9

0 0

5 0

$AA$11 实际值 $AA$12 实际值

$AA$13 实际值 $AA$14 实际值 $AA$15 实际值 $AA$16 实际值 $AA$17 实际值 $AA$18 实际值 $AA$19 实际值 $AA$20 实际值 $AA$21 实际值 $AA$22 实际值

9 7 2 1 1 5 10 11 6 6

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

9 7 2 1 1 5 10 11 6 6

1 3 0 1 4 1 1 0 4 0

0 5 1 0 1 0 5 1 0 0

5.8 某咨询公司受厂商的委托对新上市的产品进行消费反映调查。被调查对象分为上班族和休闲族，而调查时间在周一至周五与双休日得到的结果大不相同。委托厂商与该公司签订的业务合同规定：

（1）必须调查3000个消费对象；

（2）周一至周五与双休日被调查的总人数相等； （3）至少要调查1200个上班族对象； （4）至少要调查800个休闲族对象。 调查每个对象所需费用如下表： 调查对象 周一至周五调查 双休日调查 上班族 休闲族 35 25 40 28 1、请建立该问题的线性规划数学模型，以确定在不同时间调查各种对象的人数，使得总的调查费用为最少。

2、求解该模型，并对结果进行灵敏度分析。 解：1、（1）确定决策变量

设x1为上班族周一至周五调查人数； x2为上班族双休日调查人数；

x3为休闲族周一至周五调查人数； x4为休闲族双休日调查人数。

（2）确定函数

本问题的目标是总的调查费用为最少，而总的调查费用为： 35x1+40x2+25x3+28x4 所以目标函数为：

min 35x1+40x2+25x3+28x4

（3）确定约束条件

x1+x2+x3+x4≥3000 必须调查3000个消费对象;

x1-x2+x3-x4=0 周一至周五与双休日被调查的总人数相等； x1+x2≥1200 至少要调查1200个上班族对象；

x3+x4≥800 至少要调查800个休闲族对象。

所得线性规划数学模型：

min 35x1+40x2+25x3+28x4

S.T. x1+x2+x3+x4≥3000 x1-x2+x3-x4=0

x1+x2≥1200

x3+x4≥800 x1，x2，x3，x4≥0

代入线性规划求解模板得结果：

其调查方案如下表： 调查对象 周一至周五调查 双休日调查 上班族 休闲族 1200 300 0 1500 按此方案的调查费用为最少：91500元。 灵敏度分析报告：

可变单元格 单元格 $C$34 $D$34 $E$34 $F$34

约束 单元格

名字 x1 x2 x3 x4 名字

终值 递减成本 目标式系数 允许的增量 允许的减量 1200 0 300 1500

0 2 0 0

35 40 25 28

2 1E+30 10 2

10 2 2 53

终值 阴影价格 约束限制值 允许的增量 允许的减量

26.5 -1.5 10 0

3000 0 1200 800

1E+30 3000 300 1000

600 600 1200 1E+30

$R$11 实际值 3000 $R$12 实际值

0

$R$13 实际值 1200 $R$14 实际值 1800

即：

目标函数最优值为 : 91500

变量 最优解 相差值 x1 1200 0 x2 0 2 x3 300 0 x4 1500 0

约束 松弛/剩余变量 对偶价格 1 0 -26.5

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