兰州大学运筹学——线性规划在管理中的应用 课后习题题解(4)

即：最优生产方案：产品Ⅰ生产733.3件； 产品Ⅱ生产700件； 产品Ⅲ不安排生产； 产品Ⅳ生产833.3件。

可获得的最高利润：54016.7元。 灵敏度分析报告：

可变单元格 单元格 $C$34

名字 最优解

终值 733.3333333

700

递减成本

0 0

目标式系数 允许的增量 允许的减量

21.5 22.5

22.6

8

$D$34 x2 $E$34 $F$34 约束 单元格 $R$11 $R$12 $R$13

x3 名字 实际值 实际值 实际值

1E+30 17.16666667

1E+30

0 -25.11111111

833.3333333

终值

阴影价格

0

8 25.11111111 27

16 16.14285714

约束限制值 允许的增量 允许的减量

3000 2400 2100

2500 2200 3300

1100 1250 2100

3000 5.333333333 2400 10.83333333 2100 5.722222222

即：目标函数最优值为 : 54016.6505

变量 最优解 相差值 ------- -------- -------- x1 733.333 0 x2 700 0

x3 0 25.111 x4 833.333 0

约束 松弛/剩余变量 对偶价格 ------- ------------- -------- 1 0 5.333 2 0 10.833 3 0 5.722

目标函数系数范围 :

变量 下限 当前值 上限 ------- -------- -------- -------- x1 13.5 21.5 44.1 x2 5.333 22.5 无上限 x3 无下限 8 33.111 x4 10.857 27 43

常数项数范围 :

约束 下限 当前值 上限 ------- -------- -------- -------- 1 1900 3000 5500 2 1150 2400 4600 3 0 2100 5400

此模型的最优解中，四个变量有三个变量不为0，即需要安排生产，另一个为0 的变量表示产品Ⅲ由于成本高或价格低，使所获的利润太低，不值得生产。从相差值栏可见，该产品的单位利润需要再增加25.111元才值得生产。

松弛/剩余变量栏中三个数据都为0，表示该决策中所提供三种设备的机时都已全部利用，没有剩余；从对偶价格栏还可以看到三种设备的机时虽然都已用尽，但此时对三种设备增加机时，则设备B所带来的总利润为最多。因此设备B是瓶径。从约束条件的取值范围也可以看到这一点，因为设备B的机时取值范围最小，因此该设备是关键。

5.6 某企业生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，市场两种产品的需求量为：产品Ⅰ在1-4月份每月需1万件，5-9月份每月需3万件，10-12月份每月需10万件；产品Ⅱ在3-9月份每月需1.5万件，其他月份每月需5万件。该企业生产这两种产品的成本为：产品Ⅰ在1-5月份生产时每件5元，6-12月份生产时每件4.5元；产品Ⅱ在1-5月份生产时每件8元，6-12月份生产时每件7元；该企业每月生产两种产品的能力总和不超过12万件。产品Ⅰ容积为每件0.2立方米，产品Ⅱ容积为每件0.4立方米。该企业仓库容积为1.5万立方米。要求：

1、问该企业应如何安排生产，使总的生产加工储存费用为最少，建立线性规划数学模型并求解，若无解请说明原因。

2、若该企业的仓库容积不足时，可从外厂租借。若占用本企业的仓库每月每立方米需1万元的储存费，而租用外厂仓库时其储存费用为每月每立方米1.5万元，试问在满足市场需求情况下，该企业又应如何安排生产，使总的生产加储存费用为最少。

解： 1、

（1）确定决策变量

我们先将问题的关系整理如下表：

月份 1 2 10 5 x2 3 10 5 x3 4 10 5 x4 5 30 5 x5 6 30 4.5 x6 7 30 4.5 x7 8 30 4.5 x8 9 30 4.5 x9 10 100 4.5 x10 11 100 4.5 x11 12 100 4.5 x12 15000（m3） 1元/m3 仓容 销售量（千件） 10 成本（元、件） 5 产 产量（件） Ⅰ 库存数 x1 3品 总容积（千m） 0.2x1 0.2x2 0.2x3 0.2x4 0.2x5 0.2x6 0.2x7 0.2x8 0.2x9 0.2x10 0.2x11 0.2x12 x25= x26= x27= x28= x29= x30= x31= x32= x33= x2+ x3+ x4+ x5+ x6+ x7+ x8+ x9+ x34= x10+ x35= x11+ x36= x12+ x1-10 x25-10 x26-10 x27-10 x28-30 x29-30 x30-30 x31-30 x32-30 x33-100 x34-100 x35-100 50 8 x14 15 8 x15 15 8 x16 15 8 x17 15 7 x18 15 7 x19 15 7 x20 15 7 x21 50 7 x22 50 7 x23 50 7 x24 销售量（千件） 50 产 品 成本（元、件） 8 Ⅱ 产量（件） x13 总容积千（千m） 0.4x13 0.4x14 0.4x15 0.4x16 0.4x17 0.4x18 0.4x19 0.4x20 0.4x21 0.4x22 0.4x23 0.4x24 x37= x38= x39= x40= x41= x42= x43= x44= x45= x46= x47= x48= 3库存数 x14+ x15+ x16+ x17+ x18+ x19+ x20+ x21+ x22+ x23+ x24+ x13-50 x37-50 x38-15 x39-15 x40-15 x41-15 x42-15 x43-15 x44-15 x45-50 x46-50 x47-50 x49 x50 x51 x52 x53 x54 x55 x56 x57 x58 x59 x60 仓 容 产 品 总和 千m 3（千件） 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 120 （2）确定目标函数

本问题的目标是全年总的生产加工储存费用为最少，而加工和存储总费用为： 费用=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+ x15+ x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+ x53+ x54+ x55+ x56+ x57+ x58+ x59+ x60） 所以，目标函数为： Min f=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+ x15+ x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+ x53+ x54+ x55+ x56+ x57+ x58+ x59+ x60）

（3）确定约束条件

（3.1）产量关系（以件为单位）： x1+ x13≤120000 x2+ x14≤120000 x3+ x15≤120000 x4+ x16≤120000 x5+ x17≤120000 x6+ x18≤120000 x7+ x19≤120000 x8+ x20≤120000 x9+ x21≤120000 x10+ x22≤120000 x11+ x23≤120000 x12+ x24≤120000

（3.2）月末剩余数关系（以件为单位）： x25=x1-10000

x26= x2+ x25-10000 x27= x3+ x26-10000 x28= x4+ x27-10000 x29= x5+ x28-30000 x30= x6+ x29-30000 x31= x7+ x30-30000 x32= x8+ x31-30000 x33= x9+ x32-30000

x34= x10+ x33-100000 x35= x11+ x34-100000 x36= x12+ x35-100000 x37= x13-50000

x38= x14+ x37-50000 x39= x15+ x38-15000 x40= x16+ x39-15000 x41= x17+ x40-15000 x42= x18+ x41-15000 x43= x19+ x42-15000 x44= x20+ x43-15000 x45= x21+ x44-15000 x46= x22+ x45-50000 x47= x23+ x45-50000 x48= x24+ x47-50000

（3.3）自有仓容限制（m）：

3

x49≤15000 x50≤15000 x51≤15000 x52≤15000 x53≤15000 x54≤15000 x55≤15000 x56≤15000 x57≤15000 x58≤15000 x59≤15000 x60≤15000

（3.4）仓容与库存量关系（m）：

3

0.2 x25+0.4 x37= x49 0.2 x26+0.4 x38= x50 0.2 x27+0.4 x39= x51 0.2 x28+0.4 x40= x52 0.2 x29+0.4 x41= x53 0.2 x30+0.4 x42= x54 0.2 x31+0.4 x43= x55 0.2 x32+0.4 x44= x56 0.2 x33+0.4 x45= x57 0.2 x34+0.4 x46= x58 0.2 x35+0.4 x47= x59 0.2 x36+0.4 x48= x60

因此得本问题的纯属规划数学模型： Min f=5×（x1+ x2+ x3+ x4+ x5）+4.5×（x6+ x7+x8+ x9+ x10+ x11+ x12）+8×（x13+ x14+ x15+ x16+ x17）+7×（x18+ x19+x20+ x21+ x22+ x23+ x24）+（x49+ x50+x51+ x52+

x53+ x54+ x55+ x56+ x57+ x58+ x59+ x60） S.T. x1+ x13≤120000

x2+ x14≤120000 x3+ x15≤120000 x4+ x16≤120000 x5+ x17≤120000 x6+ x18≤120000 x7+ x19≤120000 x8+ x20≤120000 x9+ x21≤120000 x10+ x22≤120000 x11+ x23≤120000 x12+ x24≤120000 x1-x25=10000

x2+ x25－x26=10000 x3+ x26－x27=10000 x4+ x27－x28=10000 x5+ x28－x29=30000 x6+ x29－x30=30000 x7+ x30－x31=30000 x8+ x31－x32=30000 x9+ x32－x33=30000 x10+ x33－x34=100000 x11+ x34－x35=100000 x12+ x35－x36=100000 x13- x37=50000

x14+ x37－x38=50000 x15+ x38－x39=15000 x16+ x39－x40=15000 x17+ x40－x41=15000 x18+ x41－x42=15000 x19+ x42－x43=15000 x20+ x43－x44=15000 x21+ x44－x45=15000 x22+ x45－x46=50000 x23+ x46－x47=50000 x24+ x47－x48=50000 x49≤15000 x50≤15000 x51≤15000 x52≤15000 x53≤15000 x54≤15000 x55≤15000

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