2.3.1离散型随机变量的期望(学、教案)

2. 3.1离散型随机变量的期望

【教学目标】

1了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望．

⒉理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξ～Β(n，p)，则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望 【教学重难点】

教学重点：离散型随机变量的期望的概念 教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出期望 【教学过程】

一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出 ??a??b,a,b是常数， 若?是随机变量，则?也是随机变量 并且不改变其属

性（离散型、连续型） 5. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，?，x3，?，

ξ取每一个值xi（i=1，2，?）的概率为P(??xi)?pi，则称表

ξ x1 x2 ? xi ? P P1 P2 ? Pi ? 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 6. 分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，?； ⑵P1+P2+?=1．

7.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kkn?kPn(??k)?Cnpq，（k＝0,1,2,?，n，q?1?p）．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ 0 1 ? k

P

00nCnpq

11n?1Cnpq ?

? n

nn0Cnpq

kkn?kCnpq ?

1

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并

kkn?kCn记pq＝b(k；n，p)．

二、讲解新课

合作探究一：期望的定义 某商场要将单价分别为18

，24

，36

的3种糖果按3：2：1的比例

混合销售，，如何对混合糖果定价才合理？ 1．上述问题如何解决？为什么？

2．如果混合糖果中每颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗? ∵混合糖果中每颗糖果的质量都相等，∴在混合糖果中任取一粒糖果，它的单价为18

，24

或36

的概率分别为

，和

，若用表示这颗糖果的价

格，则每千克混合糖果的合理价格表示为18×P（=18）+24×P（=24）+36×P（=36） 概念形成

一般地,若离散型随机变量的概率分布为 则称

? ? ? ? 为的数学期望或均值,数学期望又简称为期望。 合作探究二：你能用文字语言描述期望公式吗？ E=

·

+

·

+?+

·

+?

即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。 即学即练: 练习1：离散型随机变量的概率分布

P 求的期望。

练习2：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望。

2

1 0.01 100 0.99 练习3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分?的期望 答案：99.01：3.5；0.7

合作探究三:若??a??b(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，你能求出E?? ？吗？

ξ η P x1 x2 ? ? ? xn ? ? ? ax1?b p1 ax2?b p2 axn?b pn 于是E??(ax1?b)p1?(ax2?b)p2???(axn?b)pn??

＝a(x1p1?x2p2???xnpn??)?b(p1?p2???pn??) ＝aE??b，

即学即练：1、随机变量ξ的分布列是 ξ P 1 0.5 3 0.3 5 0.2 (1)则Eξ= ？ . (2)若η=2ξ+1，则Eη= ？ 答案：2.4，5.8

熟记若ξ～Β(n，p)，则Eξ=np

例1 一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望 解析：甲乙两生答对的题目数这个随机变量是20次实验中“答对”这个事件发生的次数k，服从二项分布。

解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是?,?，则?~ B（20,0.9）,?~B(20,0.25),?E??20?0.9?18,E??20?0.25?5 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5?和5? 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

E(5?)?5E(?)?5?18?90,E(5?)?5E(?)?5?5?25

点评：分数与答对个数之间呈一次函数关系，故应用到“E（aξ+b）=aEξ+b”，

3

这个公式。

思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的均值为90分的含义是什么? 不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分

即学即练：在数字传输通道中，发生一个错误的概率是0.2（p），当然，每次传输试验独立。

令 X 为在每10位传输中（n）发生错误的位数，求 X的数学期望。 答案：2

例2见课本例3

即学即练：统计资料表明，每年端午节商场内促销活动可获利2万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元；如遇下雨可则损失4万元。6月19日气象预报端午节下雨的概率为40%，商场应选择哪种促销方式？解:因为商场内的促销活动可获效益2万元设商场外的促销活动可获效益?万元,则?的分布列 ? P 所以E?=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.

四、课堂练习：

1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以?表示取出球的最大号码，则E??（ ）

A．4； B．5； C．4.5； D．4.75 2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求

⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望； ⑵他罚球2次的得分η的数学期望； ⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望． 答案：1.C2⑴0.7 ⑵1.4． ⑶2.1. 归纳总结 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；②求ξ取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ；若ξ～B(n，p)，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．

10 －4 0.6 0.4 课后练习与提高

1.若随机变量X的分布列如下表，则EX等于：（ ） X 0 1 2 3 P 2x 3x 7x 2x A．1/18 B.1/9 C.20/9 D.9/20

4

4 3x 5 x 2.随机变量X的分布列为 X 1 2 4 P 0.4 0.3 0.3 3.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望EX=_________.

4.(2009 广东佛山模拟)在一次语文测试中，有道把我国四大文学名著《水浒传》、《三国演义》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每连对一个得3分，连错不得分，一位同学该题的X分。 （1）求该同学得分不少于6分的概率； （2）求X的分布列及数学期望。 答案：1.C 2.A 3.2/3 4.（1）7/24 （2） EX=3 X 0 3 6 12 P 3/8 1/3 1/4 1/24

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