第十二章等边三角形及等腰直角三角形的全等

【例1】、已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形

AN交MC于点E，BM交CN于点F．

（1）求证：AN=BM； （3）求∠AOM的度数； （2）求证：△CEF为等边三角形． （4）求证：EF∥AB

(5)若点G、H分别为AN、BM的中点，连接CG、CH，证明：CG=CH； （6）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，如图②所示，其他条件不变，以上结论是否成立？

O

【改编1】如图是某城市的部分街道示意图，AB=BC=AC，CD=CE=DE，A、B、C、D、

E、F、G、H为“中巴”停靠点，“中巴”甲从站A出发，按照A→H→G→D→E→C→F的顺序到达F站，“中巴”乙从站B出发，按照B→F→H→E→D→C→G的顺序到达G站，若甲、乙两车同时分别从A、B站出发，在各站停靠的时间、车速均一样，

（1）请分别用图中线段的和表示“中巴”甲、“中巴”乙所走的路程； （2）试问哪一辆先到指定站，并说明理由？

【改编2】如图，A，B，C，D，E，F，M，N是某公园里的8个独立的景点，D，E，

B三个景点之间的距离相等；A，B，C三个景点距离相等．其中D，B，C在一条直线上，E，F，N，C在同一直线上，D，M，F，A也在同一条直线上．游客甲从E点出发，沿E→F→N→C→A→B→M游览，同时，游客乙从D点出发，沿D→M→F→A→C→B→N游览．若两人的速度相同且在各景点游览的时间相同，甲、乙两人谁最先游览完？请说明理由．

【练习】1、如图，已知△ABC和△CDE都是等边三角形，AD、BE交于点F，点M、

N分别分别是线段AD、BE的中点。（1）求证：AD=BE；（2）求∠DFE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形。（补全图形）

2、点C为线段AB上一点，△ACM, △CBN都是等边三角形，线段AN,MC交于点E，BM,CN交于点F。求证：（1）AN=MB.（2）将△ACM绕点C按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？ （3）AN与BM相交所夹锐角是否发生变化。

NN

M O FEECBBA COM F A3、等边三角形ABC和等边三角形DEC，D在AC边上。延长BD交CE延长线于N，延长AE交BC延长线于M。求证：CM=CN

NA

DE

MBC

4.如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边

△APE,EC延长线交BP于M，连接AM,求证：（1）BP=CE； （2）试证明：EM-PM=AM.

ECPMAB22题 5、.如图:△ABC和△ADE是等边三角形.证明：BD=CE. （BD、 CE相交所

形成的锐角的度数）

AEDBC 6、如图，P是等边三角形ABC内一点，若将△PBC绕点B沿逆时针方向旋转后于△P′BA重合，则△PBP′是______三角形．

7、等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，

问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

8、如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，试说明∠AEB-∠EBD=60o

A E

B

C

9、复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图①，已知D 在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”

小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明．

10、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作

正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：

① AD=BE； ② PQ∥AE； ③ AP=BQ；

④ DE=DP； ⑤ ∠AOB=60° ⑥CP=CQ ⑦△CPQ为等边三角形． ⑧共有2对全等三角形 ⑨CO平分∠AOP ⑩CO平分∠BCD 恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．

B

O D

P Q

E C A

11、如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，且A、B、D三点共线．下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③HB平分∠AHD；④∠AHC=60°，⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD．其中正确的有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

12、如下图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上。若CE=15cm，

CD=6cm,则AC= ，∠ECD= 。

【例2】、 以⊿ABC的边AB、AC为边向形外作等边⊿ABM、⊿CAN，BN和CM交于一点P。试判断：∠APM、∠APN的大小关系，并加以证明。

【练习】1．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB， AF=AC。

求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF

F

A E

M B C 【例3】已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB?AC，AD?AE，

?BAC??DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分

别为BE，CD的中点．

（1）求证：①BE?CD；②AM?AN；

（2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然

成立.

C

C

M B

图①

N A

E

D

B

M E 图② N D

A

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