09上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考

2009上海市中考数学压轴题几何背景探寻和思考

上海市光明初级中学 刘颖颋 近几年来，全国各省市的数学中考压轴题大部分都有一个很明确的几何背景，今年的上海市中考数学压轴题也是如此。

背景1：如图点P是正方形ABCD对角线上任意一点。求证：PA＝PC 证明：∵四边形ABCD是正方形

∴AB＝CB，∠ABP＝∠CBP＝45 又∵BP＝BP

?APD?△ABP≌△CBP? PA＝PC

BC背景2：接上题，以P为圆心，以PA为半径画弧交AB（或AB的延长 线）于点Q。求证：PQ⊥PC 证明：∵PA＝PQ?∠1＝∠3

又∵△ABP≌△CBP? ∠1＝∠2

AA?1DPDP?1?∠1＝∠2＝∠3

而：∠3＋∠4＝180?∠2＋∠4＝180 又∵∠QBC＝90

∴∠QPC＝90? PQ⊥PC 当点Q在AB的延长线上时，

∵∠2＝∠3；∠4＝∠5?△BQH∽△CPH ∴∠QPC＝90? PQ⊥PC

背景3：反过来，若将一个直角顶点放在正方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与正方形的边（或边的延长线）AB交于点Q。求证：PQ＝PC

证明：过P作MN平行于BC交AB、CD于M、N

?????QB?3?4?2BC?5?4?2?3HCQAMQBP?1?2DANMP?1?2DNCCBQ∵∠1＋∠QPC＝∠2＋∠PNC?∠1＝∠2又∵∠MBP＝45?MP＝MB＝NC 而∠QMP＝∠PNC＝90?△QMP≌△PNC? PQ＝PC

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??从上述的几个背景看出，当∠QPC＝90时，一定有PQ＝PC，即当

?PQAD；但反过来?PCABPQAD?，即PQ＝PC时，因为有PA＝PC时∠APC＝90不一定成立，所以∠QPC?PCAB?＝90不一定能够成立。 下面我们将背景弱化：

背景4：若将一个直角顶点放在长方形的对角线上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与长方形的边（或边的延长线）AB交于点Q。求证：

AAMQBCPDPDNMNCBPQAD ?PCAB证明：易证：△QMP∽△PNC

Q?PQMPMPAD ???PCNCMBAB背景5：如图，矩形ABCD的AB＝a，AD＝b，点P在对角线BD上运动，点Q在射线AB上运动，若有PQ⊥PC

AQ'MQBPDPQAD，试探索a，b满足什么条件时，会?PCABPQADMPMP探索：正常情况下， ???PCABMBNCN?△QMP∽△PNC?∠QPC＝90?? PQ⊥PC

但若点Q关于MN的对称点Q1也在射线AB上时，如同上述背景一样，连PQ1，∠Q1PC＝90就不一定成立了。 这里：

?CMQPQbPNPNBCb??；??? PNPCaDNAMCDaQ1MQb2?2?1?b2?a2?0?(b?a)(b?a)?0?b?a 两式相乘：AMaAMPDNPQAD从这两个背景看出，当∠QPC＝90时，一定有；但反过来当?PCABPQAD?时，∠QPC＝90若遇到b＞a时就一定能成立。 ?PCAB?BQC背景6：如图四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC＝90，若将一个

直角顶点放在对角线BD上移动，一条直角边过点C ，另一条直角边与腰AB（或AB的延

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长线）交于点Q。求证：

PQAD ?PCABAMBQPDN证明：易证：△QMP∽△PNC

?PQMPMPAD ???PCNCMBAB背景7：如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠ABC＝

C90?， AB＝a，BC＝b，AD=x,点P在对角线BD上运动，

点Q在射线AB上运动，若

PQAD，试探索x与a、b?PCAB之间应该满足什么条件时，一定会有PQ⊥PC

PQADMPMP探索：正常情况下， ???PCABMBNCQ1AMBQPDN?△QMP∽△PNC?∠QPC＝90? PQ⊥PC

但若点Q关于MN的对称点Q1也在射线AB上时，如同上述背景一样，连PQ1，∠Q1PC＝90就不一定成立了。所以这里我们应该关注当点Q1“最低”时点P的位置，其实无论AD边的长度如何要使得点Q1的位置“最低”，那么点P的位置只能与点B重合。

??CQ'APBQCDQ'ADQ'ADPBCPBCQQxaa2这时△Q?DP∽△PQC，且PQ?＝PQ???x?

abba2PQAD又∵，而当AD＞时，在AB、BC都是定值的情况下，PQ也就变大了， ?bPCAB

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即Q?点就不在射线AB上了（而是在射线BA上了），那样∠Q?PC＝90就不一定成立了

?a2所以结论就是当AD≤时，∠Q?PC＝90?一定成立

b09上海市中考数学压轴题：

25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

已知?ABC?90°为线段BD上的动点，点Q在射线，AB?2，BC?3，AD∥BC，PAB上，且满足

PQAD（如图8所示）． ?PCAB（1）当AD?2，且点Q与点B重合时（如图9所示），求线段PC的长； （2）在图8中，联结AP．当AD?为x，

3，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离2S△APQS△PBC?y，其中S△APQ表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关

于x的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当AD?AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图10所示），求?QPC的大小．

Q

B

图8

C

（Q） B

C

图9

Q B

图10

C A

D

A

P P D

A

D

P 第一步：对所给的主条件进行分析，做“先期准备”，我们发现当“点P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足

PQAD?（如图8所示）”时，一定有∠QPC＝90 ?PCAB?第二步：做第一小题时，我们知道AD＝AB时一定有PB＝PC，又因为有∠BAD＝90

??ABD＝45???PBC＝90?－45?＝45???PCB?45???BPC＝90?

又∵BC＝3?PC?32?32。出题者的本意是想给同学一个∠QPC2AD?90＝的提示的。但是这个提示不明显，直接影响了后面的作图和解决问

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BHC题，第一小题“铺垫”的目的没有很好地达到。

AD?第三步：第二小题的条件在主条件上加了一个

32，所以我们还要对这个图形单独地

做个分析：这是的△ADB和△PQC都是3︰4︰5的直角三角形，因为BC＝2AD，也容易证明△DBC为等腰三角形，DC＝DB等等。

第四步：画出所有运动状态，在“极限图形”中求出x等于多少？y存在还是不存在？ 要注意这里的“点P为线段BD上的动点，点Q在线段AB上”，所以有三个图：

ADPAQCBDh1Ph2CAQBDPQBC在图1中x＝0，y是存在的，

PQAD3PQ315?????PQ?

5PCAB448231297而AD???AQ??x?，这时y也是存在的。

28887所以x的取值范围应该是：0?x?。

81(2?x)h12?xh12?xAD2?x32?x在图2中我们容易知道：y?2 ???????13h23AB344?3?h22在图3中

第五步：在做第三小题时，由于题中已经明确有“点Q在线段AB的延长线上时、如图10所示”两个明确条件，所以我们在背景中考虑的另类情况在这里就没有必要讨论了。

最后看来，除了第一小题有点值得商榷外，今年上海市的压轴题紧扣教材（所有的背景都在初二几何证明部分中出现过），注重双基，不偏不怪，也有一定的分析问题、解决问题的能力要求和数学计算要求。确实是一道好题。

以上的几何背景分析也许能反映作者平时理解问题的不简捷，简单问题往往复杂化，再加上写得匆忙没来得及仔细斟酌合适的表达语句，错误之处还望各位同行或专家批评指正。

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