数学选修2-3人教A教案导学案：独立性检验的基本思想及其初步应用

3. 2.1独立性检验的基本思想及其初步应用

教学目标

（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求2?2列联表）的基本思想、方

法及初步应用；

（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。 教学重点：独立性检验的基本方法 教学难点：基本思想的领会及方法应用 教学过程 一、问题情境

5月31日是世界无烟日。有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看一下问题：

某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9965个人，其中吸烟者2148人，不吸烟者7817人。调查结果是：吸烟的2148人中有49人患肺癌，2099人未患肺癌；不吸烟的7817人中有42人患肺癌，7775人未患肺癌。

问题：根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”？ 二、学生活动

（1）引导学生将上述数据用下表（一）来表示：（即列联表）

不患肺癌 患肺癌 总计 1

不吸烟 吸烟 总计 7775 2099 9874 42 49 91 7817 2148 9965 （2）估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异： 42

在不吸烟者中，有 ≈0.54％的人患肺癌；

7817在吸烟的人中，有

49

≈2.28％的人患肺癌。 2148

问题：由上述结论能否得出患肺癌与吸烟有关？把握有多大？ 三、建构数学

1、从问题“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，借助样本数据的列联表，柱形图和条形图的展示，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能会有关系。但这种结论能否推广到总体呢？要回答这个问题，就必须借助于统计理论来分析。 2、独立性检验：

（1）假设H0：患肺癌与吸烟没有关系。即：“吸烟与患肺癌相互独立”。用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则有P(AB)=P(A)P(B)

若将表中“观测值”用字母代替，则得下表（二）：

吸烟 不吸烟 合计 患肺癌 未患肺癌 合计 a b d b?d a?b c?d a?b?c?d c a?c 学生活动：让学生利用上述字母来表示对应概率，并化简整理。 思考交流：|ad?bc|越小，说明患肺癌与吸烟之间的关系越 （强、弱）？

n(ad?bc)2（2）构造随机变量K?（其中n?a?b?c?d）

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2由此若H0成立，即患肺癌与吸烟没有关系，则K的值应该很小。把表中的数据代入计算得

2

K的观测值k约为56.632，统计学中有明确的结论，在H0成立的情况下，随机事件P(K

2

2

≥6.635)≈0.01。由此，我们有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关系”。

上面这种利用随机变量K来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。

说明：估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异是用频率估计概率，利用K进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，观测数据a,b,c,d取值越大，效果越好。在实际应用中，当a,b,c,d均不小于5，近似的效果才可接受。

（2）这里所说的“患肺癌与吸烟有关系”是一种统计关系，这种关系是指“抽烟的人患肺癌的可能性（风险）更大”，而不是说“抽烟的人一定患肺癌”。

2

2

2

（3）在假设H0成立的情况下，统计量K应该很小，如果由观测数据计算得到K的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理（即统计量K越大，“两个分类变量有关系”的可能性就越大）。

3、对于两个分类变量A和B，推断“A和B有关系”的方法和步骤为：

①利用三维柱形图和二维条形图； ②独立性检验的一般步骤：

第一步，提出假设H0：两个分类变量A和B没有关系； 第二步，根据2×2列联表和公式计算K统计量； 第三步，查对课本中临界值表，作出判断。 4、独立性检验与反证法：

反证法原理：在一个已知假设下，如果推出一个矛盾，就证明了这个假设不成立； 独立性检验原理：在一个已知假设下，如果一个与该假设矛盾的小概率事件发生，就

推断这个假设不成立。

四、数学运用

例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？

① 第一步：教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论；

第二步：教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果； 第三步：由学生计算出K2的值； 第四步：解释结果的含义.

② 通过第2个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据表明可以进行这种推广. 变式练习：课本P97练习

【板书设计】：

【作业布置】：课本P97习题3.2第1题

2

2

22

3

3.2.1独立性检验的基本思想及其初步应用

课前预习

阅读教材P91-P95，了解相关概念，如：分类变量、列联表、独立性检验。 学习目标

（1）通过对典型案例的探究，了解独立性检验（只要求2?2列联

表）的基本思想、方法及初步应用；

（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法。 学习重点：独立性检验的基本方法 学习难点：基本思想的领会 学习过程 一、情境引入

5月31日是世界无烟日。有关医学研究表明，许多疾病，例如：心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手。这些疾病与吸烟有关的结论是怎样得出的呢？我们看一下问题：

某医疗机构为了了解肺癌与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了9965个人，其中吸烟者2148人，不吸烟者7817人。调查结果是：吸烟的2148人中有49人患肺癌，2099人未患肺癌；不吸烟的7817人中有42人患肺癌，7775人未患肺癌。

问题：根据这些数据能否断定“患肺癌与吸烟有关”？ 二、学生活动 【自主学习】

（1）将上述数据用下表（一）来表示：

不吸烟 吸烟 总计 不患肺癌 患肺癌 总计 （2）估计吸烟者与不吸烟者患肺癌的可能性差异： 在不吸烟者中患肺癌的人约占多大比例？ ；

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