曲线积分与曲面积分重点总结+例题(2)

高等数学教案 曲线积分与曲面积分

§11? 2 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功?

设一个质点在xOy面内在变力F(x? y)?P(x? y)i?Q(x? y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B? 试求变力F(x? y)所作的功?

用曲线L上的点A?A0? A1? A2? ? ? ?? An?1? An?B把L分成n个小弧段? 设Ak?(xk ? yk)? 有向线段AkAk?1的长度为?sk? 它与x轴的夹角为?k ? 则 AkAk?1?{cos?k,sin?k}?sk(k?0? 1? 2? ? ? ?? n?1)?

???显然? 变力F(x? y)沿有向小弧段Ak Ak?1所作的功可以近似为 F(xk,yk)?AkAk?1?[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk? 于是? 变力F(x? y)所作的功 W??从而

W??[P(x,y)cos??Q(x,y)sin?]ds?

L这里???(x? y)? {cos?? sin?}是曲线L在点(x? y)处的与曲线方向一致的单位切向量? 把L分成n个小弧段? L1? L2? ? ? ?? Ln?变力在Li上所作的功近似为? F(?i? ?i)??si?P(?i? ?i)?xi?Q(?i? ?i)?yi ? 变力在L上所作的功近似为?

n?1?F(xk,yk)?AkAk?1k?1n?1???[P(xk,yk)cos?k?Q(xk,yk)sin?k]?sk?

k?1?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1nn 变力在L上所作的功的精确值? W?lim

??0?[P(?i,?i)?xi?Q(?i,?i)?yi]?

i?1高等数学课程建设组

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其中?是各小弧段长度的最大值? 提示?

用?si?{?xi??yi}表示从Li的起点到其终点的的向量? 用?si表示?si的模? 对坐标的曲线积分的定义?

定义 设函数f(x? y)在有向光滑曲线L上有界? 把L分成n个有向小弧段L1? L2? ? ? ?? Ln? 小弧段Li的起点为(xi?1? yi?1)? 终点为(xi? yi)? ?xi?xi?xi?1? ?yi?yi?yi?1? (?i? ?)为Li上任意一点? ?为各小弧段长度的最大值? 如果极限lim??0?f(?i,?i)?xi总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在有向曲线L上对坐标

i?1nx的曲线积分? 记作

lim?f(?i,?i)?xi? ?Lf(x,y)dx? 即?Lf(x,y)dx???0i?1n 设L为xOy面上一条光滑有向曲线? {cos?? sin?}是与曲线方向一致的单位切向量? 函数P(x? y)、Q(x? y)在L上有定义? 如果下列二式右端的积分存在? 我们就定义

?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds? ?LQ(x,y)dy??LQ(x,y)sin?ds?

前者称为函数P(x? y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分? 后者称为函数Q(x? y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分? 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分? 定义的推广?

设?为空间内一条光滑有向曲线? {cos?? cos?? cos?}是曲线在点(x? y? z)处的与曲线方向一致的单位切向量? 函数P(x? y? z)、Q(x? y? z)、R(x? y? z)在?上有定义? 我们定义(假如各式右端的积分存在)

??P(x,y,z)dx???P(x,y,z)cos?ds? ??Q(x,y,z)dy???Q(x,y,z)cos?ds? ??R(x,y,z)dz???R(x,y,z)cos?ds?

nnlim?f(?i,?i,?i)?xi? ?f(x,y,z)dy?lim?f(?i,?i,?i)?yi? ?Lf(x,y,z)dx??L?0??0i?1i?1高等数学课程建设组

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lim?f(?i,?i,?i)?zi? ?Lf(x,y,z)dz???0i?1对坐标的曲线积分的简写形式?

n?LP(x,y)dx??LQ(x,y)dy??LP(x,y)dx?Q(x,y)dy? ??P(x,y,z)dx???Q(x,y,z)dy???R(x,y,z)dz

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?

?对坐标的曲线积分的性质?

(1) 如果把L分成L1和L2? 则

?LPdx?Qdy??LPdx?Qdy??LPdx?Qdy?

12 (2) 设L是有向曲线弧? ?L是与L方向相反的有向曲线弧? 则

??LP(x,y)dx?Q(x,y)d???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?

两类曲线积分之间的关系?

设{cos?i? sin?i}为与?si同向的单位向量? 我们注意到{?xi? ?yi}??si? 所以 ?xi?cos?i??si? ?yi?sin?i??si?

lim?f(?i,?i)?xi ?Lf(x,y)dx???0i?1n ?lim??0?f(?i,?i)cos?i?si??Lf(x,y)cos?ds?

i?1nn

lim?f(?i,?i)?yi ?Lf(x,y)dy???0i?1 ?lim??0?f(?i,?i)sin?i?si??Lf(x,y)sin?ds?

i?1n即

?LPdx?Qdy??L[Pcos??Qsin?]ds? ?LA?dr??LA?tds?

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或

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其中A?{P? Q}? t?{cos?? sin?}为有向曲线弧L上点(x? y)处单位切向量? dr?tds?{dx? dy}? 类似地有 或

??Pdx?Qdy?Rdz???[Pcos??Qcos??Rcos?]ds? ??A?dr???A?tds???Atds?

其中A?{P? Q? R}? T?{cos?? cos?? cos?}为有向曲线弧?上点(x? y? z)处单们切向量? dr?Tds ?{dx? dy? dz }? A t为向量A在向量t上的投影?

二、对坐标的曲线积分的计算?

定理? 设P(x? y)、Q(x? y)是定义在光滑有向曲线L? x??(t)? y??(t)? 上的连续函数? 当参数

t单调地由?变到?时? 点M(x? y)从L的起点A沿L运动到终点B? 则

??L?LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

?Q(x,y)dy??Q[?(t),?(t)]??(t)dt?

??讨论? 提示?

?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy?？

???LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t)]??(t)}dt?

定理? 若P(x? y)是定义在光滑有向曲线 L? x??(t)? y??(t)(??t??)上的连续函数? L的方向与t的增加方向一致? 则

??LP(x,y)dx??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

? 简要证明? 不妨设???? 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{??(t)? ??(t)}? 所以 cos????(t)?

22??(t)???(t)从而

?LP(x,y)dx??LP(x,y)cos?ds

????P[?(t),?(t)]??(t)??2(t)???2(t)dt

??2(t)???2(t)高等数学课程建设组

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? ?应注意的问题?

??P[?(t),?(t)]??(t)dt?

下限a对应于L的起点? 上限? 对应于L的终点? ?不一定小于? ? 讨论?

若空间曲线?由参数方程x??t)? y =? (t)? z??(t)给出? 那么曲线积分 如何计算？提示? ???P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz?？

??P(x,y,z)dx?Q(x,y,z)dy?R(x,y,z)dz

? ?{P[?(t),?(t),?(t)]??(t)?Q[?(t),?(t),?(t)]??(t)?R[?(t),?(t),?(t)]??(t)}dt?

?其中?对应于?的起点? ?对应于?的终点? 例题? 例1?计算

?Lxydx? 其中L为抛物线y?x上从点A(1? ?1)到点B(1? 1)的一段弧?

2

例2? 计算

?Ly2dx?

(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 ? (2)从点A(a? 0)沿x轴到点B(?a? 0)的直线段? 例3 计算

?L2xydx?x2dy? (1)抛物线y?x2上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧? (2)抛物线

x?y2上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧? (3)从O(0? 0)到A(1? 0)? 再到R (1? 1)的有向折线OAB ? 例4? 计算

??x3dx?3zy2dy?x2ydz? 其中?是从点A(3? 2? 1)到点B(0? 0? 0)的直线段

AB?

例5? 设一个质点在M(x? y)处受到力F的作用? F的大小与M到原点O的距离成正比? F

x2?y2?1的方向恒指向原点? 此质点由点A(a? 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点B(0? b)? 2ab求力F所作的功W?

小结

1.第二类曲线积分的定义；

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