昆明理工大学概率论课后习题答案1-8章 习题解答(4)

概率论与数理统计 习题解答

解: “方程x2?Xx?1?0有实根”即{X?2故所求的概率为P{X?2}=}，

4. 517.知随机变量X服从正态分布N(a,a2)，且Y?aX?b服从标准正态分布

N(0,1)，求a,b.

解：由题意

?a2?b?0(a?0) ?22a?a?1?解得：a?1,b??1

18.已知随机变量X服从参数为?的指数分布，且X落入区间（1，2）内

的概率达到最大，求?.

?X? 解：P(12?)P?X(?1)P?X?(???2e)??2?令?(?)e?,令gg()?0，即

e???2e?2??0,即1?2e???0，

∴??ln2.

)P(X?1). 19．设随机变量X?N(1,4)，求P(0?X?1.6，

0?11.6?1 )?X?221.6?10?1 ??()??()?0.3094

221?1P(X?1)???()??(0)?0.5.

2解：P(0?X?1.6)?P(00,20020.设电源电压X~N220,252，在X?2???X24?0,24X0?电压三种情形下，

电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001,0.2，求：

（1）该电子元件损坏的概率?；

（2）该电子元件损坏时，电压在200~240伏的概率?.

解：设A1??X?200?,A2??200?X?240?,A3??X?240?， D—电子元件损坏，则 （1）?A1,A2,A3完备，由全概率公式

???????P?D??P?A1?P??DA??P?A2?P?DA??P?A3?P?DA?，

?1??2??3??200?220?今P?A1?????????0.8??1???0.8??0.212，

25??同理P?A2????0.8?????0.8??2??0.8??1?0.576，

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概率论与数理统计 习题解答

P?A3??1?0.212?0.576?0.212， 从而??P?D??0.062.

（2）由贝叶斯公式

?P?A2?P??DA?0.576?0.001A??2???P???0.009. ?2D????P?D?0.06221.随机变量X的分布律为 －2 －1 X 0 1 3 P 1 51 61 51 1511 30求Y?X2的分布律 2 0 X 1 4 9 解：

1 P . 5

解．X的分布为

X 7 301 511 3022.变量X服从参数为0.7的0－1分布，求X2及X2?2X的概率分布.

0.3 0.7 P

易见，X2的可能值为0和1；而X2?2X的可能值为?1和0，由于

P{X2?u}?P{X?u}

(u?0,1)，可见X2的概率分布为：

0 1

X2 0 0.3 1 0.7 P 由于P{X2?2X??1}?P{X?1}?0.7，P{X2?2X?0}?P{X?0}?0.3，可得X2?2X的概率分布为

X2?2X -1 0.7 0 0.3 P 23.X概率密度函数为fX(x)?1，求Y?2X的概率密度函数fY(y).

?(1?x2) 17

概率论与数理统计 习题解答

解：y?2x的反函数为x?yyy2，代入公式得fY(y)?fX()()??. 222?(4?y2)24.设随机变量X~U?0,2?，求随机变量Y?X2在?0,4?内概率密度fY?y?. 解法一（分布函数法） 当y?0时，FY?y??0,y?4时FY?y??1，当0?y?4时，

FY?y??PX??y?FX??y?

11?fy? ,0?y?4?X2y4y从而 fY?y???

?0 ,其余???解法二（公式法）y?x2在?0,2?单增，由于反函数x?y在?0,4?可导，xy'?从而由公式得

11?fy? ,0?y?4?X2y4yfY?y???

?0 ,其余?12y，

???e?x ,x?025.fX，求Y?eX的密度. （x)???0 ,x?0解法一（分布函数法）因为X?0，故Y?1，当y?1时，FY?y??P?X?lny??FX?yl?n，

11??lny1?2 ,y?1?fX?lny??eyyy?fY?y???.

?0 ,y?1?解法二（公式法）y?ex的值域?1,???，反函数x?lny，故

1??fX?lny??lny?'?2 ,y?1yfY?y???.

?0 ,y?1?

)的均匀分布，分别求随机变量Y?eX和26.设随机变量X服从(0,1上

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概率论与数理统计 习题解答

Z?lnX的概率密度fY(y)和fZ(z).

解：X的密度为f(x)????1, 若0?x?1，

0, 其它??（1）函数y?ex有唯一反函数，x?lny，且1?Y?e，故

?1??fX(lny)(lny)?, 1?y?e?y, 1?y?ef(y)??. ??0, 其它??? 其它?0,（2）在区间(0,1)上，函数z?lnx??lnx，它有唯一反函数x?e?z，且Z?0，从而

?z?z???fX(e)(e)?, z?0??e, z?0 ?. fZ(z)??0, 其它?? 其它??0,?z27. 设fX?x?为X的密度函数，且为偶函数，求证?X与X有相同的分布.

证：即证Y??X与X的密度函数相同，即fY?y??fX?y?. 证法一（分布函数法）

FY?y??P??X?y??P?X??y??1?P?X??y??1?FX??y?， ?pY?y???pX??y????1??pX?y?，得证.

证法二（公式法）

由于y??x为单调函数，?pY?y??pX??y???y??pX??y??pX?y?.

28.设随机变量X服从正态分布N(?,?2)，???????,??0 ，F(x)是X的分布

'函数，随机变量Y?F(X). 求证Y服从区间[0,1]上的均匀分布.

证明：记X的概率密度为f(x)，则F(X)?函数，其反函数F?1(x)

存在，又因0?F(x)?1，因此Y的取值范围是[0,1]. 即当0?y?1时

FY(y)?P?Y?y??P?F(X)?y??P?X?F?1(y)??F[F?1(y)]?y.

?x??f(t)dt. 由于F(x)是x的严格单调增

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概率论与数理统计 习题解答

于是Y的密度函数为

?1, 0?y?1pY(y)??

?0, 其它即Y服从区间[0,1]上的均匀分布.

第三章 思考题

1(答:错)2 (答:错) 3答:错) 习题

1 解：P{X?Y}?P{X??1,Y??1}?P{X?1,Y?1}(已知独立) ?P{X??1}P{Y??1}?P{X?1}P{Y?1}?11111???? . 22222 由此可看出,即使两个离散随机变量X与Y相互独立同分布, X与Y一般情况下也不会以概率1相等. 2解：由

??pijij=1可得：b?0.14,从而得： 0 1 2 X Y 0 1 P{Y?j} 0.06 0.15 0.09 0.3 0.14 0.35 0.21 0.7 0.2 P{X?i} 0.5 0.3 1 P{X?i,Y?j}?P{X?i}P{Y?j}i?0,1,2;j?0,1.故X,Y相互独立.

P{X?1,Y?1}?F(1,1)?P{X?0,Y?0}?P{X?0,Y?1}

?P{X?1,Y?0}?P{X?1,Y?1}?0.06?0.14?0.15?0.35?0.73解: p11?P(X?1,Y?1)?P(AB)

?P(A)P(BA)? X 1 0 Y 1 0 1, 121 12 21 12 8 p12?P(X?1,Y?0)?P(AB) ?P(A)P(BA)?1212 121?? 43620

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