数论2——整除

八年级实验班暑假课程 数论2——整除

二、整除

（一）整数的封闭性 1、 解方程：?

2、 某班参加公益活动，甲组同学平均每个人收集废电池17个，乙组同学平均每人收集20

个；丙组同学平均每个人收集21个，三组收集共233个。则三组一共多少人？

3、 如果一个正整数等于他的各位数字之和的4倍，成为好数。求所有的好数

4、 一个四位数和他的四个数字之和为2001，求这个四位数

5、 n为正整数，使得1?n?

6、 求所有的正整数n，使得对于这样的n，总能找到实数a,b使得函数f(x)?对于任意整数x，f(x)也是整数。

7、 已知n，k都是正整数，满足不等式

17?n?kn?k?634391nx?ax?b，

2?xy?yz?63?xz?yz?23，x,y,z都是正整数

n(n?1)2?n(n?1)(n?2)6?2，试求所有可能的正整数n和k。

k，如果对于某个n，只有为一的正

整数k使得不等式成立。试求所有满足条件的正整数n的最大值和最小值。

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8、 已知正整数a,b,c满足：a?b?c,abc?ab?bc?ca，试求所有满足条件的a,b,c

9、 有20堆石子，每一堆都有2006枚。每次操作时，将其中19堆中各取出1枚石子，放

入剩下一堆，称为一次操作。经过不到20次操作后，某一堆石子剩下了1990枚，有一堆石子的数目在2080到2100之间。求这堆石子还有多少粒。 10、

（二）数的整除

1、已知正整数n大于30，且4n?1整除2002n，试求n

2、设a,b都是自然数，使得a2?ab?1|b2?ab?1，证明:a=b。

3、已知a,b都是整数，且9|a?ab?b，求证：3|a,3|b

4、已知x,y,a,m,n都是正整数，满足x?y?a,x?y?a，试求a

5、从1,2,3,??，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少是一个，也可以是全部），使得他们的和可以被10整除。求n的最小值。

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m22n22有2006个都不等于119的正整数排成一列。其中任意连续若干项的和都不等于

119，试求这2006个数的和。

300是多少位数。

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6、求证：对于任意正整数n，n3?3n2?5n?9可以被3整除。

7、求证，如果a为整数，6|n(n?1)(2n?1)

8、求证：如果57|782?8161，那么57|783?8163

9、求证：如果n|(ma?b),n|(mc?d)，则n|(ad?bc)

10、求证：如果两个三位数abc,def的和可以被37整除，那么abcdef也可以被37整除。

11、已知m,n都是正整数，1?m,n?30，21|mn，试求满足条件的整数对(m,n)的数目。

12、三个互不相同的正整数，满足其中任意两个的乘积与1的和可以被另一个数整除，我们称这三个数为“好”的，求所有“好”的三元数组。

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13、自然数1、2、3、4、5、6，每个用一次，组成六位数，满足：3|abc,5|bcd,3|cde,11|def，试求这个6位数。

14、N由5个不同的非零数字构成。且N恰等于这五个数字中任取3个不同数字所构成的所有三位数的和，试求所有满足条件的N。

15、如果a,b,c,d是互不相等的整数，且整数x满足等式(x?a)(x?b)(x?c)(x?d)?9，求证：4|a?b?c?d

16、用0，1，2，3，??，9组成的十个数字不同的十位数中，能被99整除的最大值和最小值分别是多少？

17、已知1?|x|?

18、设a,b,c,为三个互不相等的正整数，求证在ab?ab,bc?bc,ca?ca中至少有一个数可以被10整除。

19、证明：如果自然数a 不是5的倍数，那么100|n?3a?4

4

843333332?|2y|有意义，|2x?y?4|?x?2xy?y?22x?2x?1的最

2大值和最小值分别为a,b，如果1abcd可以被99整除，试求c，d的值。

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20、证明：自然数a,b,c满足关系式a2?b2?c2，那么求证a,b,c中至少一个数能被5整除。

21、一个六位数，如果前三位数码的和等于后三位数码的和，那么称这个数是“好的”，求证：所有“好的”六位数的和能被13整除。

22、如果n为自然数，1981n?1982n?1983n?1984n，试求n满足的条件。

23、证明：由数字0，1,2,3,4,5组成的数字不重复的6位数不能被11整除。

24、假设a,b,c,d十四个整数，证明12|(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)(c?d)

25、求证：17|2x?3y?17|9x?5y

26、证明对于任何整数：7|2

27、试给出能否被37整除的判定法则

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6k?1?36k?1?56k?1

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