最新-2018年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案B 精品(2)

因此 Sn?n?11111?(n?)??n．

n(n?1)2n(n?1)n?1211．设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)?2009 ，且对任意x?R，满足 f(x?2)?f(x))=?3?x，2f(x?6)?f(x)?63?2x，则f(2008[解法一] 由题设条件知

22008?2008．

f(x?2)?f(x)??(f(x?4)?f(x?2))?(f(x?6)?f(x?4))?(f(x?6)?f(x))

??3?2x?2?3?2x?4?63?2x?3?2x， 因此有f(x?2)?f(x)?3?2x，故

f(2008)?f(2008)?f(2006)?f(2006)?f(2004)? ?3?(22006?22004??f(2)?f(0)?f(0)

?22?1)?f(0)

41003?1?1 ?3??f(0)

4?1 ?22008?2008． [解法二] 令g(x)?f(x)?2x，则

g(x?2)?g(x)?f(x?2)?f(x)?2x?2?2x?3?2x?3?2x?0，

g(x?6)?g(x)?f(x?6)?f(x)?2x?6?2x?63?2x?63?2x?0，

即g(x?2)?g(x),g(x?6)?g(x)，

故g(x)?g(x?6)?g(x?4)?g(x?2)?g(x)， 得g(x)是周期为2的周期函数，

所以f(2008)?g(2008)?22008?g(0)?22008?22008?2008．

12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是723．

[解] 如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面A1B1C1//平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体P?A1B1C1的中心，

PO?面A1B1C1，垂足D为A1B1C1的中心．

1因VP?ABC?S?ABC?PD

1113111 ?4?VO?ABC

1111?4??S?A1B1C1?OD，

3答12图1

故PD?4OD?4r，从而PO?PD?OD?4r?r?3r．

记此时小球与面PAB的切点为P1，连接OP，则 122PP(3r)2?r2?22r． 1?PO?OP1?考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为PEF，如答12图2．记正四面体的棱长为a，过1P1作PM?PA于M． 1 因?MPP1??6，有PM?PP1?cosMPP1?22r?3?6r，故小三角形的边长2P?2PM?1E?PA?a26． r小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）

S?PAB?S?PEF?1322(a?(a?26r)2)?32ar?63r． 4又r?1，a?46，所以

S?PAB?S?P1EF?243?63?183．

答12图2

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723． 三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13．已知函数f(x)?|sinx|的图像与直线y?kx (k?0)有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为?，求证：

cos?1??2 ． ?sin??sin3?4?[证] f(x)的图象与直线y?kx

(k?0)的三个交点如答13图所

示，且在(?,3?)内相切，其切点2为A(?,?sin?)，??(?,3?)． 2答13图

3sin?由于f?(x)??cosx，x?(?,?)，所以?cos???，即??tan?． 2?因此

cos?cos? ?sin??sin3?2sin2?cos?

?14sin?cos?

cos2??sin2? ?4sin?cos?1?tan2? ?4tan?1??2． ?4?14．解不等式

log2(x12?3x10?5x8?3x6?1)?1?log2(x4?1)．

[解法一] 由1?log2(x4?1)?log2(2x4?2)，且log2y在(0,??)上为增函数，故原不等式等价于

x12?3x10?5x8?3x6?1?2x4?2．

即 x12?3x10?5x8?3x6?2x4?1?0． 分组分解 x12?x10?x8 ?2x10?2x8?2x6 ?4x8?4x6?4x4 ?x6?x4?x2 ?x4?x2?1?0，

(x8?2x6?4x4?x2?1)(x4?x2?1)?0，

所以 x4?x2?1?0， (x?2?1?52?1?5)(x?)?0． 22所以x2??1?5?1?5?1?5． ，即??x?222故原不等式解集为(?5?1,25?1．

)2[解法二] 由1?log2(x4?1)?log2(2x4?2)，且log2y在(0,??)上为增函数，故原不等式等价于

x12?3x10?5x8?3x6?1?2x4?2．

即

21?6?x6?3x4?3x2?1?2x2?2?(x2?1)3?2(x2?1)， 2xx

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