第三章 微分方程方法(2)

直接方法：不用求出方程的解直接地来研究其稳定性。

3.2.2 一阶方程的平衡点及稳定性

dx?f(x)，其相应的平衡点为代数方程f(x)?0的实根x?x0。其稳设有微分方程dt定性可以用间接方法判断，下面说明直接方法。

首先，将函数f(x)在x0点作一阶泰勒(Taylor)展开，即

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)? ?f?(x0)(x?x0)?则方程可以近似地表示为

f??(?)(x?x0)2 2!f??(?)(x?x0)2?f?(x0)(x?x0) 2!dx?f?(x0)(x?x0)。 dt显然，x0也是该方程的一个平衡点，因为对于不显含变量t的函数h(t,x)?f?(x0)(x?x0)，有h(t,x0)?f?(x0)(x0?x0)?0，所以x0是方程组

dx?f?(x0)(x?x0)?h(t,x)的一个dt平衡点。其稳定性主要取决于f?(x0)符号，即有下面结论：

若f?(x0)?0，则平衡点x0是稳定的；若f?(x0)?0，则平衡点x0是不稳定的。 若x?(x1,x2,?,xn)T，则方程组对于一阶微分方程

dx?f?(x0)(x?x0)不好理解。若x是一元的，则dtdx?f?(x0)(x?x0)，容易求得其通解为 dtf?(x0)t x?x0?Ce当f?(x0)?0时，有

， （其中C为任意常数）。

limx?limx0?Cet??t???f?(x0)t??x，

0所以此时平衡点x0是稳定的。

而当f?(x0)?0时，极限

limx?limx0?Cet??t???f?(x0)t????x0，

所以平衡点x0是不稳定的。

3.2.3 平面方程的平衡点及稳定性

设平面方程组的一般形式为

?dx1?f(x1,x2),??dt （3.6） ??dx2?g(x,x).12??dt（此时方程组中不显含变量t）则称代数方程组

?f(x1,x2)?0, ?g(x,x)?0.?12(0)(0)(0)(0)的实根x1?x1为平面方程组（3.6）的平衡点，记为P0(x1,x2?x2,x2)。如果对所有

可能的初值条件方程的解为x1(t),x2(t)满足

(0)limx1(t)?x1(0)， limx2(t)?x2， t??t??(0)(0)则称平衡点P0(x1,x2)是稳定的；否则是不稳定的。也可以用直接方法讨论。

将方程组（3.6）的右边的函数作一阶泰勒展开，即可表示为近似的线性方程组

?dx1(0)(0)(0)?fx1(x1(0),x2)(x1?x1(0))?fx2(x1(0),x2)(x2?x2)??dt （3.7） ?dx?2?g(x(0),x(0))(x?x(0))?g(x(0),x(0))(x?x(0))x11211x21222??dt?fx1记系数矩阵为A???gx1fx2?，且假设其行列式A?0，则方程组（3.7）的特征方程为 gx2??A?? I?0，即?2?p??q?0，

其中p??(fx1?gx2)，q?A，?为特征根（特征值）。不妨设特征根分别为?1，?2，即

?1,?2?(?p?p2?4q)

(0)(0)根据特征根?1，?2和系数p，q的取值情况可以确定平衡点P0(x1,x2)的稳定性。

12在下边的补充内容中可以知道，当系数矩阵A的特征值的实部小于零时，平衡点是稳定的的；反之，平衡点是不稳定的。而由A的特征值的表达式

?1,?2?1(?p?2p2?4q)

可知，当p?0，q?0时平衡点是稳定的；当p?0或q?0时平衡点是不稳定的。对于一般微分方程的平衡点和稳定性问题可以类似地讨论。

3.2.4 有关矩阵理论补充知识

3.2.4.1 矩阵幂级数与矩阵函数 对于每个多项式

p(x)?相应的有矩阵多项式

p(x)?n?nn?nkx?Rx?C ，或。 ax?k?ak?0mmkxk， x?R或x?C，

k?0（若用我们平时线性代数的习惯表示，就是

p(X)??akXk ，X?Rn?n或X?Cn?n，

k?0m要改变习惯，可以将x理解为矩阵，用什么字母表示只是符号问题。）p(X)是n阶方阵，

n?nn?n表示为R到R的一个矩阵函数。当n?1时，p(x)??ak?0mkxk就退化为多项式，所以

?说矩阵多项式是通常的多项式的推广。自然地，也可以把通常的幂级数幂级数。

定义： 给定矩阵A?Rn?n?ak?0kxk推广为矩阵

，ak?R，称表示式

?ak?0?kAk

是矩阵A的幂级数。

矩阵幂级数是一种形式上的表示，要赋予它真正的的意义还必须讨论其收敛性。

定义： 给定矩阵A?R数项级数

n?nk，记乘幂矩阵A的(i,j)位置上的数为(A)i,j。如果n个

k2?ak?0??k(Ak)i,j ， 1?i,j?n

都收敛，则称矩阵A的幂级数

?ak?0kkkAk收敛；否则，称它是发散的。

?如果矩阵A的幂级数

?ak?0?A收敛，且?ak(Ak)i,j?sij，记S?(sij)?Rn?n，则称

k?0S是?akAk的和，记作

k?0??ak?0?k(A)i,j?S。 k矩阵幂级数的收敛性的相关结论与普通幂级数基本一致，这里不在赘述，可以查看相关

书籍。

定义： 设复变量x的幂级数

?ak?0?kxk的收敛半径是r，且在收敛圆Cr?(?r,r)内有

??ak?0?kx?f(x)，若n阶矩阵X的谱半径?(X)?r，此时矩阵幂级数?akXk收敛，称

kk?0 f(X)??ak?0?kXk

是X的矩阵函数。

根据这个定义，得到在形式上和微积分学中的一些函数相似的矩阵函数，例如

eX??1kX， ?X?Cn?n； k?0k!??(?1)ksinX??X2k?1， ?X?Cn?n；

k?0(2k?1)!(?1)k2kcosX??X， ?X?Cn?n；

k?0(2k)!?(I?X)?1??Xk， ?(X)?1；

k?0?(?1)k?1kln(I?X)??X，?(X)?1。

kk?1?如果把矩阵X换成乘上参数t的矩阵Xt，则可以定义 eXt??1(Xt)k， ?X?Cn?n，t?(??,??)。 k?0k!?其它可作类似的定义。

3.2.4.2矩阵函数的计算

常见的矩阵函数的计算方法有两种，用Jordan矩阵和最小多项式方法计算。这里我们只介绍Jordan矩阵方法计算矩阵函数。

设f(x)??ak?0?kx，则f(A)??akAk

kk?0?令n阶方阵A的Jordan标准型为 A?PJP?1?P?diag[J1(?1),J2(?2),?,Jm(?m)]?P?1

?m??P???Ji(?l)??P?1，

?i?1?其中J是A的Jordan标准型，Ji(?i)（i?1,2,?,m）是A的Jordan子块，则矩阵幂级数

?ak?0?kAk的前r?1项的和为矩阵A的多项式

rr?r? Sr(A)??akA??ak(PJP)?P??akJk?P?1?PSr(J)P?1

k?0k?0?k?0?k?1k ?P?diag[Sr(J1),Sr(J2),,?,Sr(Jm)]?P?1， 若Ji是A的q阶子块，则

??i??Ji??????因此

1?i???i??1??????????1???i?????i??01???01?????????????iI?U，?????1????i?0?????1k?1 Jik?(?iI?U)k??ikI?Ck?iU?Ck21?ik?2U2???Uk

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