第11章稳恒电流与真空中的恒定磁场习题解答和分析(2)

第2篇 电磁学

?0NId??0NIsin3?d?????. 2csc3?(R?r)?2(R?r)?所有电流产生的磁场方向均沿x轴，所以其磁感强度大小为

B?

?0NIsin3?2(R?r)?Rd?r???0NIsin3?2(R?r)lnR. r

题11-12图 解11-12图

11-13 半径为R的木球上绕有细导线，所绕线圈很紧密，相邻的线圈彼此平行地靠着，以单层盖住半个球面共有N匝，如题11-13图所示。设导线中通有电流I，求在球心O处的磁感应强度。

分析：考虑线圈沿圆弧均匀分布，微分密绕线圈，计算出相应的微分电流dI，利用载流圆

??环在其轴线上产生的磁感应强度公式求解dB。并将矢量dB再积分求解总的磁感应强度。

解：建立如解11-13图所示坐标，x轴垂直线圈平面，考虑线圈沿圆弧均匀分布，故在

x?x?dx内含有线圈的匝数为

N2N2NdN?dl?Rd??d?.

?R/2?R?线圈中通电流I时，中心O点处磁感强度为 dB??0Iy22(x?y)223/2dN.

因为 x?Rsin?,y?Rcos?, 对整个半球积分求得O点总磁感强度为

题11-13图

B??dB???0Iy22(x2?y2)3/2dN

解11-13图

??0IN?R????cos2?d???0IN4R ,方向沿x轴正向。 6

11-14 一个塑料圆盘，半径为R，带电量q均匀分布于表面，圆盘绕通过圆心垂直盘面的轴转动，角速度为?.试证明

（1）在圆盘中心处的磁感应强度为B?（2）圆盘的磁偶极矩为pm??0?q2?R;

1q?R2. 4分析：均匀带电圆盘以角速度?旋转时相当于圆电流，微分带电圆盘，计算出相应的微分

??电流dI，利用载流圆环在其圆心处产生的磁场公式求解dB。并将矢量dB再积分求解总的

磁感应强度。

解：（1）在圆盘上取一个半径为r、宽为dr的细圆环，其所带电量为

dq??2?rdr?q2?rdr. 2?R圆盘转动后相当于圆电流

dI?ndq?q?qrdr?2?2?rdr?. 2??πR?R?若干个圆电流在圆心产生的磁感强度为

B??dB????0dI2r??R?0?qrdr2r??R2

题11－15图

0?0?q2?R

.（2）细圆环的磁矩为dpm?SdI??r?2?qr?R2dr??qr3R2dr.

转动圆盘的总磁矩为pm??R?qr3R20dr?1q?R2，方向沿轴向。 411-15 已知一均匀磁场的磁感应强度B=2T，方向沿x轴正方向，如题11-15图所示。试求（1）通过图中abcd面的磁通量；（2）通过图中befc面的磁通量；（3）通过图中aefd面的磁通量。

分析：应用磁通量概念求解。

解：（1）取各面由内向外为法线正方向。则

?abcd?BSabcdcos???2?40?10?2?30?10?2Wb??0.24Wb,穿入.（2）?befc?BSbefccos

??0. ?（3）?aefd?BSaefdcos??BSabcd?0.24Wb,穿出.

11-16 如题11-16图所示，在长直导线AB内通有电流I，有一与之共面的等边三角形CDE，

第2篇 电磁学

其高为h，平行于直导线的一边CE到直导线的距离为b。求穿过此三角形线圈的磁通量。 分析：由于磁场不均匀，将三角形面积进行微分，应用磁通量概念求出穿过面元的磁通量，然后利用积分求出穿过三角形线圈的磁通量。

解：建立如解11-16图所示坐标，取距电流AB为x远处的宽为dx且与AB平行的狭条为面积元dS?2(b?h?x)tan30?dx.

题11-16图 解11-16图

则通过等边三角形的磁通量为

??b?h?I0???B?dS??2(b?h?x)tan30?dxSb2?x??b?hb3?0Ib?h?x3?0I?dx?3?x3?b?h??(b?h)ln?h. ??b??11-17 一根很长的铜导线，载有电流10A，在导线内部，通过中心线作一平面S，如题图11-17所示。试计算通过导线内1m长的S平面的磁通量。

分析：先求出磁场的分布，由于磁场沿径向不均匀，将平面S无穷分割，应用磁通量概念求出穿过面元的磁通量，再利用积分求总磁通量。 解：与铜导线轴线相距为r的P点处其磁感强度为

B??0Ir2?R2 （r?R，R为导线半径）。

于是通过单位长铜导线内平面S的磁通量为

??R?0IR???B?dS??B?1?dr?rdr

S02?R2?0?I?0?1.0?10?7?10Wb=1.0?10?6Wb. 4?

题11-17图

11-18 如题11-18图所示的空心柱形导体，柱的内外半径分别为a和b，导体内载有电流

I，设电流I均匀分布在导体的横截面上。求证导体内部各点（a?r?b）的磁感应强度Br2?a2. 由下式给出：B?2?(b2?a2)r?0I 8

分析：应用安培环路定理求解。注意环路中电流的计算，应该是先求出载流导体内电流密度，再求出穿过环路的电流。 证明：载流导体内电流密度为??I.

?(b2?a2)由对称性可知，取以轴为圆心，r为半径的圆周为积分回路L，则由安培环路定理

?L??B?dl=?0?I,

22r2?a2得:B2?r??0??(r?a)??0I2, 2b?a从而有:B??2. 22?r(b?a)?0I(r2?a2)如果实心圆柱a?0，此时B?

题11-18图

?0Ir2?R2。

题11-19图

11-19 有一根很长的同轴电缆，由两个同轴圆筒状导体组成，这两个圆筒状导体的尺寸如题11-19图所示。在这两导体中，有大小相等而方向相反的电流I流过。（1）求内圆筒导体内各点（r?a）的磁感应强度B；（2）求两导体之间（a?r?b）的B；（3）求外圆筒导体内（b?r?c）的B；（4）求电缆外（r?c）各点的B。

分析：应用安培环路定理求解。求外圆筒导体内（b?r?c）的B时，注意环路中电流的计算，应该是先求出外圆导体内电流密度，再结合内圆筒的电流，求出穿过环路的电流。 解：在电缆的横截面，以截面的轴为圆心，将不同的半径r作圆弧并取其为安培积分回路L，然后，应用安培环路定理求解，可得离轴不同距离处的磁场分布。 (1)当r?a时，

??L??B?dl??0?I?0, B?2?r?0，得B=0；

(2)当a?r?b时，同理可得B??0I2?r;

?I?(r2?b2)?, (3)当b?r?c时，有B?2?r??0?I?22??(c?b)??

第2篇 电磁学

r2?b2?; 得B??1?22?2?r?c?b??0I?(4)当r?c时，B=0。

11-20 题11-20图中所示为一根外半径为R1的无限长圆柱形导体管，管中空心部分半径为

R2，并与圆柱不同轴.两轴间距离OO??a。现有电流密度为?的电流沿导体管流动，求空

腔内任一点的磁感应强度B。

分析：此题属于非对称分布磁场的问题，因而不能直接应用安培环路定理一次性求解，但可用补偿法求解。即将无限长载流圆柱形导体管看作是由半径为R1的实心载流圆柱体和一根与圆柱轴平行并相距a的半径为R2的反向载流圆柱体叠加而成（它们的场都可以分别直接应用安培环路定理求解）。则空间任一点的场就可视作该两个载流导体产生场的矢量叠加。注意补偿电流的计算时，应该是先求出原来导体内电流密度，按照此电流密度进行补偿。 解：如解11-20图所示，设半径为R1的载流圆柱其电流垂直纸面向外，电流密度为

??I. 2?(R12?R2)

题11-20图

解11-20图

它在空腔中P点产生的场为B1，其方向如解11-20图所示，由安培环路定理可得

??同理可求得半径为R2的反向载流的小圆柱在P点产生磁场B2，方向如解11-21图，即

?1???B1??0??r1；式中r1为从O点引向P点的矢径。

2?1???B2???0??r2；式中r2为从O?点引向P点的矢径。

2?????????1???1则 B?B1?B2??0??(r1?r2)??0(??OO?)

22?????式中OO?为从O指向O?的矢量。

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