第四章线性系统的可控性和可观性4

【例4.10.1】设线性定常系统 ?0?0?1??1???? x???10?3?x??1?u， y??01?2?x

??01?3????0?? 判别可控性。若系统不可控，将系统按可控性进行规范分解。

解：

（1）判别可控性

?10?1?Qc??bAbA2b????11?3??，rankQc?2?n，故系统不完全可控。??01?2??（2）构造按可控性进行规范分解的非奇异变换阵Rc。 Rc??R1R2R3?

?1??0??0??100? R???????1??1?，R2??1?，R3??0?，故而Rc??110?? ??0????1????1????011??变换后系统的动态方程为：

x??Ax?Bu，y?Cx 式中： x??x?c?x?

?c??100??1?00?1??100??0?1?1?A?R?1cARc???110????10?3????110?????1?2?2????011????01?3????011????00?1???100??1?1??1?B?R?1?1?cB??10???1?????0????011????0????0???100?C?CRc??01?2???110????1?1?2???011??可控子系统动态方程：

x??0?1???1??c???1?2?xc???xc?1???u， y1??1?1?x???2??0?c

4-39

不可控子系统动态方程：

?c??xc， y2??2xc x

为了说明在构造变换阵Rc时，Rr?1,?,Rn列是任意选取的（当然必须保证Rc为非奇异），现取Rc??R1?1? Rc?1???0R2R3?中的R3??101?，即

T0111??0 ?1????Ax?Bu，y?Cx x式中： ?xc? x???

?xc??1??1???00110111??0?1??1??0?1???1?1A?RcARc?1?0?1???0001?1??1???31???3????00111??0?0??1??1????0?1?200???2??1???1??1B?RcB?1???0?1??1?????1?0??????0????0??C?CRc??01?1??2?1???00111??0??1?1???1?2? 即有 ?0?c???x ???1?c???x??0?1?200??1???xc????2???0u ?x???c???1???0?? y??1?1?xc??2???

?xc?二、系统按可观测性的结构分解

??Ax?Bu，y?Cx，其可观测性判别矩阵Qo的秩为r设不可观测线性定常系统为x

4-40

（r?n），即rankQo?r?n，则存在非奇异变换

x?Rox

??Ax?Bu，y?Cx 将状态空间表达式变换为：x其中：

?xo???x???????xo???r?(n?r)A?RoARo?1?A11??????A21????0?????A22???r?(n?r)r?B1????1B?RoB??????B2???(n?r)r(n?r)C?CRo?C1??0?r(n?r)

非奇异线性变换阵可这样构造：

?R1T??????T?R?r??T? ?Rr?1?????T???Rn??TT Ro?1Ro中的前r个向量R1,?,Rr为可观测性判别矩阵Qo中的r个线性无关的行。另外

?1(n?r)个行向量Rr?1,?,Rn在确保Ro是非奇异的条件下完全是任意选取的。

TT?1

可见，经上述变换后系统的分解为可观测的r维子系统和不可观测的(n?r)维子系统。

?o?A11xo?B1u， y1?C1xo 可观测子系统：x?o?A21xo?A22xo?B2u， y2?0 不可观测子系统：x

4-41

可观测部分

不可观测部分

按可观测性进行结构分解示意图

【例4.10.2】设线性定常系统 ?00?1??1? x???1?3????0?x??1?u， y??01?2?x

??01?3????0?? 判别可观测性。若系统不可观测，将系统按可观测性进行规范分解。解：

（1）判别可观测性 ?c??01?2? Q???o??cA???1?23??，rankQo?2?n，故系统不可观测。

??cA2?????23?4??（2）构造非奇异变换阵Ro。取

?RT1? R?1??T?o?R2? ??RT3?? RT1?2?， RT1??02??1?23?

在保证R?1非奇异的条件下，任取RTo3??001?

?RT1??01?211?∴R?1???2o??T?R2????23??1?????1?， R(R1o?o)??102?? ?RT3???001????001??

4-42

??Ax?Bu， y?Cx 于是x即

?0???1???11?200??1???xo???0????1u?x???o???1???0???o??x?xo??1?1?RAR?RBuooo?????o??x?xo??xo?0????xo?y??10

?o??可观测子系统为：x?0??11??1?x??o??u， y??1?2???1?0?xo

?o??1不可观测子系统为：x0?xo?xo

三、按可控性和可观测性分解

??Ax?Bu，y?Cx，其状态不完全可控、不完全可观测，则存在若线性定常系统x非奇异变换

x?Rx

??Ax?Bu，y?Cx 将原状态空间表达式变换为：x其中：

?xco??A11???Axco?1?， A?RAR??21 x???0?xco????xco?0???B1???B2?1??， C?CR??C B?RB?1?0????0?0A2200A13A23A33A430??A24? 0??A44?0C20?

即

?co??A11?x????coxA21???? ?x?co??0????x?co??00A2200A13A23A33A430??xco??B1??????A24xcoB?????2?u 0??xco??0??????A44??xco??0?

4-43

y??C10C2?xco???xco? 0???xco???x?co?

可见，只要确定了变换矩阵R，只需经过一次变换便可对系统同时按可控性和可观测性进行结构分解。但R的构造涉及较多线性空间的概念，比较麻烦，可用如下步骤分解：

第一步：将系统?(A,B,C)按可控性分解。 第二步：把可控子系统?c按可观测性分解。 按可观测性分解。

第三步：把不可控子系统?

c第四步：综合上述三次变换，导出系统同时按可控性和可观测性进行结构分解的表达式。

课堂练习：p.94 5-1，5-2

作业：5-4（可以不交）

4-44

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库第四章线性系统的可控性和可观性4在线全文阅读。